下册 8.1 二重积分 第49题
📝 题目
49．计算下列积分．
（1） $\iint_{R^{2}} \mathrm{e}^{-\left(2 x^{2}+2 x y+y^{2}\right)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（2） $\iint_{R^{2}} \mathrm{e}^{-\left(x^{2}+x y+y^{2}\right)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（3） $\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\left[x^{2}+(y-x)^{2}+y^{2}\right]} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）二重广义积分是收玫的．由 $\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x=\sqrt{\pi}$ 得
$$
\begin{aligned}
\iint_{R^{2}} \mathrm{e}^{-\left(2 x^{2}+2 x y+y^{2}\right)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y & =\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{d} x \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{e}^{-(y+x)^{2}} \mathrm{~d} y=\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-(y+x)^{2}} \mathrm{~d} y \\
& =\int_{-\infty}^{+\infty} \sqrt{\pi} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x=\sqrt{\pi} \cdot \sqrt{\pi}=\pi .
\end{aligned}
$$
（2）二重广义积分是收玫的．由 $\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x=\sqrt{\pi}$ 得
$$
\begin{aligned}
\iint_{R^{2}} \mathrm{e}^{-\left(x^{2}+x y+y^{2}\right)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y & =\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{d} x \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\frac{3}{4} x^{2}} \mathrm{e}^{-\left(y+\frac{1}{2} x\right)^{2}} \mathrm{~d} y=\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\frac{3}{4} x^{2}} \mathrm{~d} x \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\left(y+\frac{1}{2} x\right)^{2}} \mathrm{~d} y \\
& =\int_{-\infty}^{+\infty} \sqrt{\pi} \mathrm{e}^{-\frac{3}{4} x^{2}} \mathrm{~d} x=\sqrt{\pi} \cdot \sqrt{\pi} \sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2}{3} \sqrt{3} \pi
\end{aligned}
$$
（3）二重广义积分是收玫的．由 $\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x=\sqrt{\pi}$ 得
$$
\begin{aligned}
\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\left(x^{2}+(y-x)^{2}+y^{2}\right]} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y & =\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{d} x \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\frac{3}{2} x^{2}} \mathrm{e}^{-2\left(y-\frac{1}{2} x\right)^{2}} \mathrm{~d} y=\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\frac{3}{2} x^{2}} \mathrm{~d} x \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-2\left(y-\frac{1}{2} x\right)^{2}} \mathrm{~d} y \\
& =\sqrt{\frac{\pi}{2}} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\frac{3}{2} x^{2}} \mathrm{~d} x=\sqrt{\frac{\pi}{2}} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{\pi}=\frac{\sqrt{3}}{3} \pi
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：配方法化简被积函数（第1题）
将指数部分 $2x^2+2xy+y^2$ 配方：$2x^2+2xy+y^2 = x^2 + (x^2+2xy+y^2) = x^2 + (x+y)^2$，因此被积函数化为 $e^{-x^2} e^{-(x+y)^2}$。
公式：$2x^2+2xy+y^2 = x^2 + (x+y)^2$
提示：注意配方时保持对称性，不要遗漏项。
步骤 2/8
目标：化为累次积分并利用高斯积分（第1题）
将二重积分化为累次积分：$\iint_{\mathbb{R}^2} e^{-x^2} e^{-(x+y)^2} dxdy = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x+y)^2} dy$。对固定的 $x$，内层积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x+y)^2} dy = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-u^2} du = \sqrt{\pi}$（令 $u=x+y$）。
公式：$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-u^2} du = \sqrt{\pi}$
提示：注意内层积分与 $x$ 无关，可直接用高斯积分结果。
步骤 3/8
目标：计算外层积分（第1题）
外层积分为 $\int_{-\infty}^{+\infty} \sqrt{\pi} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi} \cdot \sqrt{\pi} = \pi$。
公式：$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$
提示：再次使用高斯积分公式。
步骤 4/8
目标：配方法化简被积函数（第2题）
将指数部分 $x^2+xy+y^2$ 配方：$x^2+xy+y^2 = \frac{3}{4}x^2 + (y+\frac{1}{2}x)^2$。因为 $x^2+xy+y^2 = (y+\frac{1}{2}x)^2 + \frac{3}{4}x^2$。
公式：$x^2+xy+y^2 = \frac{3}{4}x^2 + (y+\frac{1}{2}x)^2$
提示：配方时注意系数，确保完全平方正确。
步骤 5/8
目标：化为累次积分并利用高斯积分（第2题）
积分化为 $\iint e^{-\frac{3}{4}x^2} e^{-(y+\frac{1}{2}x)^2} dxdy = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{3}{4}x^2} dx \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(y+\frac{1}{2}x)^2} dy$。内层积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(y+\frac{1}{2}x)^2} dy = \sqrt{\pi}$。
公式：$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(y+\frac{1}{2}x)^2} dy = \sqrt{\pi}$
提示：内层积分与 $x$ 无关，直接使用高斯积分。
步骤 6/8
目标：计算外层积分（第2题）
外层积分为 $\int_{-\infty}^{+\infty} \sqrt{\pi} e^{-\frac{3}{4}x^2} dx = \sqrt{\pi} \cdot \sqrt{\frac{\pi}{3/4}} = \sqrt{\pi} \cdot \sqrt{\frac{4\pi}{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}\pi$。
公式：$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-a x^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}$ 对于 $a>0$
提示：注意 $a=\frac{3}{4}$，结果要化简。
步骤 7/8
目标：配方法化简被积函数（第3题）
指数部分 $x^2+(y-x)^2+y^2 = x^2 + (y^2 -2xy + x^2) + y^2 = 2x^2 -2xy + 2y^2 = 2(x^2 - xy + y^2)$。再配方：$x^2 - xy + y^2 = \frac{3}{4}x^2 + (y-\frac{1}{2}x)^2$，所以原指数为 $2\left(\frac{3}{4}x^2 + (y-\frac{1}{2}x)^2\right) = \frac{3}{2}x^2 + 2(y-\frac{1}{2}x)^2$。
公式：$x^2+(y-x)^2+y^2 = \frac{3}{2}x^2 + 2(y-\frac{1}{2}x)^2$
提示：注意系数2的提取，避免计算错误。
步骤 8/8
目标：化为累次积分并计算（第3题）
积分化为 $\iint e^{-\frac{3}{2}x^2} e^{-2(y-\frac{1}{2}x)^2} dxdy = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{3}{2}x^2} dx \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-2(y-\frac{1}{2}x)^2} dy$。内层积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-2u^2} du = \sqrt{\frac{\pi}{2}}$（令 $u=y-\frac{1}{2}x$）。外层积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{3}{2}x^2} dx = \sqrt{\frac{2\pi}{3}}$。相乘得 $\sqrt{\frac{\pi}{2}} \cdot \sqrt{\frac{2\pi}{3}} = \frac{\pi}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\pi$。
公式：$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-a u^2} du = \sqrt{\frac{\pi}{a}}$
提示：注意内层积分变量替换后积分限不变，且 $a=2$。
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