下册 8.2 三重积分 第1题
📝 题目
1．计算下列三重积分．
（1） $\iiint_{\Omega} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Omega=\{(x, y, z) \mid x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0, x+y+z \leqslant a\}, a$ 为常数．
（2） $\iiint_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，区域 $\Omega$ 由 $x=0, y=0, z=0, x+y+z=1$ 所围成。
（3） $\iiint_{V}(x y+y z+z x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，区域 $V$ 由 $x \geqslant 0, y \geqslant 0,0 \leqslant z \leqslant 1, x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 所围成．
（4） $\iiint_{\Omega} x y^{2} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Omega$ 是第一象限中由曲面 $z=\sqrt{x y}$ 与平面 $y=x, x=1, z=0$ 所围成的区域．
（5） $\iiint_{\Omega} \mathrm{e}^{x} y^{2} z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Omega$ 由曲面 $z=x y, y=x, z=0, x=1$ 所围成。
（6） $\iiint_{\Omega} \mathrm{e}^{x+y+z} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Omega$ 是 $\mathbf{R}^{3}$ 中由下列平面 $y=1, y=-x, x=0, z=0, z=-x$ 所围成的闭区域．
（7） $\displaystyle \iiint_{\Omega} \frac{1}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Omega$ 是由平面 $x=1, x=2, z=0, y=x$ 与 $z=y$ 所围成的区域．
（8） $\iiint_{\Omega} y \cos (x+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 其中 $\Omega$ 由抛物柱面 $y=\sqrt{x}$ ，平面 $\displaystyle x+z=\frac{\pi}{2}, y=0, z=0$ 所围成的有界区域．
（9） $\iiint_{\Omega} y(x+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 其中 $\Omega$ 由抛物柱面 $y=\sqrt{x}$ ，平面 $\displaystyle x+z=\frac{\pi}{2}, y=0, z=0$ 所围成的有界区域。
（10） $\iiint_{\Omega}(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Omega$ 由平面 $x=0, x=1$ 和曲面 $\displaystyle x^{2}+1=\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{b^{2}}$ 所围成。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）如图 8．110，积分区域可表示为 $\Omega=\{(x, y, z) \mid 0 \leqslant x \leqslant a, 0 \leqslant y \leqslant a-x, 0 \leqslant z \leqslant a-x-y\}$ ．于是
$$
\begin{aligned}
\iiint_{\Omega} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z & =\int_{0}^{a} \mathrm{~d} x \int_{0}^{a-x} \mathrm{~d} y \int_{0}^{a-x-y} x y z \mathrm{~d} z=\frac{1}{2} \int_{0}^{a} \mathrm{~d} x \int_{0}^{a-x} x y(a-x-y)^{2} \mathrm{~d} y \\
& =\frac{1}{24} \int_{0}^{a} x(a-x)^{4} \mathrm{~d} x=\frac{a^{6}}{720}
\end{aligned}
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-185.jpg?height=1472&width=1327&top_left_y=801&top_left_x=1056}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．110}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-185.jpg?height=1486&width=1313&top_left_y=787&top_left_x=3453}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．111}
\end{figure}
（2）如图8．111，将 $\Omega$ 投影到 $z$ 轴得投影区间 $[0,1] . \forall z \in[0,1], D(z)$ 由 $x=0, y=0 x+y=1-z$围成。于是
$$
\iiint_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} z \iint_{D(z)} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\int_{0}^{1} z^{2} \frac{(1-z)^{2}}{2} \mathrm{~d} z=\frac{1}{60} .
$$
（3）如图 8．112，令 $x=r \cos t, y=r \sin t, z=z$ ，则 $V$ 变成 $\displaystyle V^{\prime}: 0 \leqslant t \leqslant \frac{\pi}{2}, 0 \leqslant r \leqslant 1,0 \leqslant z \leqslant 1$ 。于是
$$
\begin{aligned}
& \iiint_{V}(x y+y z+z x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \\
= & \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin t \cos t \mathrm{~d} t \int_{0}^{1} r^{3} \mathrm{~d} r \int_{0}^{1} \mathrm{~d} z+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin t \mathrm{~d} t \int_{0}^{1} r^{2} \mathrm{~d} r \int_{0}^{1} z \mathrm{~d} z+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos t \mathrm{~d} t \int_{0}^{1} r^{2} \mathrm{~d} r \int_{0}^{1} z \mathrm{~d} z=\frac{11}{24} .
\end{aligned}
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-185.jpg?height=1458&width=1334&top_left_y=4724&top_left_x=1063}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．112}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-185.jpg?height=1272&width=1306&top_left_y=4924&top_left_x=3467}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．113}
\end{figure}
（4）如图8．113所示，积分区域可表示为 $\Omega=\{(x, y, z) \mid 0 \leqslant z \leqslant \sqrt{x y}, 0 \leqslant y \leqslant x, 0 \leqslant x \leqslant 1\}$ ．于是
$$
\iiint_{\Omega} x y^{2} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\int_{0}^{1} x \mathrm{~d} x \int_{0}^{x} y^{2} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{x y}} z \mathrm{~d} z=\frac{1}{2} \int_{0}^{1} x \mathrm{~d} x \int_{0}^{x} x y^{3} \mathrm{~d} y=\frac{1}{8} \int_{0}^{1} x^{6} \mathrm{~d} x=\frac{1}{56} .
$$
（5）如图8．114所示，积分区域可表示为 $\Omega=\{(x, y, z) \mid 0 \leqslant z \leqslant x y, 0 \leqslant y \leqslant x, 0 \leqslant x \leqslant 1\}$ ．于是
$$
\begin{aligned}
\iiint_{\Omega} \mathrm{e}^{x} y^{2} z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z & =\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x} y^{2} \mathrm{~d} y \int_{0}^{x y} z^{3} \mathrm{~d} z=\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x} y^{2} \frac{1}{4} x^{4} y^{4} \mathrm{~d} y \\
& =\frac{1}{28} \int_{0}^{1} x^{11} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x=1425600-\frac{7342285 \mathrm{e}}{14}
\end{aligned}
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-186.jpg?height=1272&width=1044&top_left_y=1139&top_left_x=1077}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．114}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-186.jpg?height=1624&width=1341&top_left_y=787&top_left_x=3322}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．115}
\end{figure}
（6）如图8．115所示，积分区域 $\Omega=\{(x, y, z) \mid-x \leqslant z \leqslant 0,-x \leqslant y \leqslant 1,-1 \leqslant x \leqslant 0\}$ ．于是 $\iiint_{\Omega} \mathrm{e}^{x+y+z} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\int_{-1}^{0} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x \int_{-x}^{1} \mathrm{e}^{y} \mathrm{~d} y \int_{0}^{-x} \mathrm{e}^{z} \mathrm{~d} z=\int_{-1}^{0} \mathrm{e}^{x}\left(\mathrm{e}^{-x}-1\right) \mathrm{d} x \int_{-x}^{1} \mathrm{e}^{y} \mathrm{~d} y=\int_{-1}^{0}\left(1-\mathrm{e}^{x}\right)\left(\mathrm{e}-\mathrm{e}^{-x}\right) \mathrm{d} x=3-\mathrm{e}$ ．
（7）如图8．116所示，积分区域 $\Omega=\{(x, y, z) \mid 0 \leqslant z \leqslant y, 0 \leqslant y \leqslant x, 1 \leqslant x \leqslant 2\}$ ．记其在 $x O y$ 平面上的投影区域为 $D_{x y}$ 。于是
$$
\iiint_{\Omega} \frac{\mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z}{x^{2}+y^{2}}=\iint_{D_{y}} \frac{1}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \int_{0}^{y} \mathrm{~d} z=\iint_{D_{y}} \frac{y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\int_{1}^{2} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x} \frac{y \mathrm{~d} y}{x^{2}+y^{2}}=\left.\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)\right|_{0} ^{x} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \ln 2 .
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-186.jpg?height=1486&width=1230&top_left_y=4185&top_left_x=801}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．116}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-186.jpg?height=1417&width=1783&top_left_y=4254&top_left_x=3149}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 8.117 •}
\end{figure}
（8）如图 8.117 所示，$\Omega$ 由抛物柱面 $y=\sqrt{x}$ ，平面 $\displaystyle y=0, z=0, x+z=\frac{\pi}{2}$ 所围成，
$$
\Omega=\left\{(x, y, z) \left\lvert\, 0 \leqslant z \leqslant \frac{\pi}{2}-x\right., 0 \leqslant y \leqslant \sqrt{x}, 0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}\right\},
$$
记 $\Omega$ 在 $x O y$ 平面上的投影区域为 $D_{x y}$ ，由曲线 $y=\sqrt{x}$ ，直线 $\displaystyle y=0, x=\frac{\pi}{2}$ 围成。于是
$$
\begin{aligned}
\iiint_{\Omega} y \cos (x+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z & =\iint_{D_{\mathrm{o}}} y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \int_{0}^{\frac{\pi}{2}-x} \cos (x+z) \mathrm{d} z=\iint_{D_{\mathrm{r}}} y(1-\sin x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
& =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{x}} y(1-\sin x) \mathrm{d} y=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-\sin x)\left(\left.\frac{1}{2} y^{2}\right|_{0} ^{\sqrt{x}}\right) \mathrm{d} x \\
& =\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(x-x \sin x) \mathrm{d} x=\left.\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2}\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}-\left.\frac{1}{2}(\sin x-x \cos x)\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi^{2}-8}{16} .
\end{aligned}
$$
（9）如图 8.117 所示，$\Omega$ 由抛物柱面 $y=\sqrt{x}$ ，平面 $\displaystyle y=0, z=0, x+z=\frac{\pi}{2}$ 所围成，
$$
\Omega=\left\{(x, y, z) \left\lvert\, 0 \leqslant z \leqslant \frac{\pi}{2}-x\right., 0 \leqslant y \leqslant \sqrt{x}, 0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}\right\}
$$
记 $\Omega$ 在 $x O y$ 平面上的投影区域为 $D_{x y}$ ，由曲线 $y=\sqrt{x}$ ，直线 $\displaystyle y=0, x=\frac{\pi}{2}$ 围成．于是
$$
\begin{aligned}
\iiint_{\Omega} y(x+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z & =\iint_{D_{x y}} y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \int_{0}^{\frac{\pi}{2}-x}(x+z) \mathrm{d} z=\frac{1}{2} \iint_{D_{x y}} y\left[\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2}-x^{2}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
& =\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left[\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2}-x^{2}\right] \mathrm{d} x \int_{0}^{\sqrt{x}} y \mathrm{~d} y=\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left[\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2}-x^{2}\right] x \mathrm{~d} x=\frac{\pi^{4}}{256}
\end{aligned}
$$
注：这是＂先一后二＂的方法．
（10）$\Omega$ 由平面 $x=0, x=1$ 和曲面 $\displaystyle x^{2}+1=\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{b^{2}}$ 所围成，如图8．118 所示．令 $y=a r \cos t$ ， $z=b r \sin t, x=x$ ，则 $J=a b r$ 。将 $\Omega$ 分成 $\Omega_{1}+\Omega_{2}$ ，其中
$$
\begin{aligned}
& \Omega_{1}: 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi, 1 \leqslant r \leqslant \sqrt{2}, \sqrt{r^{2}-1} \leqslant x \leqslant 1 ; \\
& \Omega_{2}: 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi, 0 \leqslant r \leqslant 1,0 \leqslant x \leqslant 1 .
\end{aligned}
$$
于是 $\quad \iiint_{\Omega}(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$
$$
\begin{aligned}
= & \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} t \int_{1}^{\sqrt{2}} a b r \mathrm{~d} r \int_{\sqrt{r^{2}-1}}^{1} x \mathrm{~d} x+\int_{0}^{2 \pi} \cos t \mathrm{~d} t \int_{1}^{\sqrt{2}} a^{2} b r^{2} \mathrm{~d} r \int_{\sqrt{r^{2}-1}}^{1} \mathrm{~d} x+ \\
& \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} t \int_{0}^{1} a b r \mathrm{~d} r \int_{0}^{1} x \mathrm{~d} x+\int_{0}^{2 \pi} \cos t \mathrm{~d} t \int_{0}^{1} a^{2} b r^{2} \mathrm{~d} r \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x=\frac{3}{4} \pi a b
\end{aligned}
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-187.jpg?height=1417&width=1140&top_left_y=3460&top_left_x=4455}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．118}
\end{figure}
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定积分区域并化为累次积分
积分区域 $\Omega$ 由 $x\ge 0, y\ge 0, z\ge 0, x+y+z\le a$ 定义。可表示为 $0\le x\le a$, $0\le y\le a-x$, $0\le z\le a-x-y$。因此三重积分化为累次积分：
$$
\iiint_\Omega xyz\,dxdydz = \int_0^a dx \int_0^{a-x} dy \int_0^{a-x-y} xyz\,dz.
$$
提示：注意积分限的确定：先对z积分，再对y，最后对x。
步骤 2/5
目标：计算内层积分（对z）
对z积分：
$$
\int_0^{a-x-y} xyz\,dz = xy \cdot \frac{1}{2}(a-x-y)^2.
$$
代入得：
$$
\frac{1}{2}\int_0^a dx \int_0^{a-x} xy (a-x-y)^2 dy.
$$
公式：$\int z\,dz = \frac{1}{2}z^2$
提示：注意将x,y视为常数，正确计算定积分。
步骤 3/5
目标：计算中间层积分（对y）
先对y积分：
$$
\int_0^{a-x} xy (a-x-y)^2 dy.
$$
令 $u = a-x-y$，则 $y = a-x-u$, $dy = -du$，当 $y=0$ 时 $u=a-x$，当 $y=a-x$ 时 $u=0$。积分变为：
$$
\int_{a-x}^0 x(a-x-u) u^2 (-du) = x\int_0^{a-x} (a-x-u)u^2 du = x\int_0^{a-x} [(a-x)u^2 - u^3] du.
$$
计算得：
$$
x\left[(a-x)\frac{(a-x)^3}{3} - \frac{(a-x)^4}{4}\right] = x(a-x)^4\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right) = \frac{x(a-x)^4}{12}.
$$
因此原积分变为：
$$
\frac{1}{2}\int_0^a \frac{x(a-x)^4}{12} dx = \frac{1}{24}\int_0^a x(a-x)^4 dx.
$$
公式：$\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1}$
提示：换元时注意积分限的变化，以及符号处理。
步骤 4/5
目标：计算最外层积分（对x）
计算 $\int_0^a x(a-x)^4 dx$。令 $t = a-x$，则 $x = a-t$, $dx = -dt$，当 $x=0$ 时 $t=a$，当 $x=a$ 时 $t=0$。积分变为：
$$
\int_a^0 (a-t) t^4 (-dt) = \int_0^a (a-t)t^4 dt = a\int_0^a t^4 dt - \int_0^a t^5 dt = a\cdot\frac{a^5}{5} - \frac{a^6}{6} = a^6\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\right) = \frac{a^6}{30}.
$$
因此原积分：
$$
\frac{1}{24}\cdot\frac{a^6}{30} = \frac{a^6}{720}.
$$
公式：$\int_0^a t^n dt = \frac{a^{n+1}}{n+1}$
提示：换元后注意积分限的变换。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
因此，三重积分的结果为 $\frac{a^6}{720}$。
提示：检查计算过程中是否有遗漏系数。
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