下册 8.2 三重积分 第2题
📝 题目
2．计算下列三重积分．
（1） $\iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\alpha} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, V$ 是实心球 $x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}, \alpha>0$ 。
（2） $\iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $V$ 是球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 和圆锥 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 之间的部分．
（3） $\iiint_{V} \sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $V: x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 围成的闭区域．
（4） $\displaystyle \iiint_{\Omega} \frac{z \ln \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+1\right)}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+1} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Omega: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ ．
（5） $\iiint_{V}(x+y+z)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $V$ 是区域 $x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ ．
（6） $\displaystyle \iiint_{\Omega} \frac{\cos \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Omega: \pi^{2} \leqslant x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 4 \pi^{2}$ ．
（7） $\iiint_{\Omega} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\Omega: 4 \leqslant x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 16, z \geqslant \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ．
（8） $\displaystyle \iiint_{\Omega} \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+1\right)^{3}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Omega: x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）如图8．119所示，在球面坐标下，积分区域 $\Omega$ 可表示为 $0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi, 0 \leqslant \varphi \leqslant \pi, 0 \leqslant r \leqslant R$ ．
$$
\iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\alpha} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iiint_{\Omega} r^{2 \alpha+2} \cdot \sin \varphi \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \varphi \mathrm{~d} \theta=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\pi} \sin \varphi \mathrm{d} \varphi \int_{0}^{R} r^{2(\alpha+1)} \mathrm{d} r=\frac{4 \pi}{2 \alpha+3} R^{2 \alpha+3} .
$$
当 $R=\alpha=1$ 时， $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\frac{4}{5} \pi$ ．
\begin{figure}
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\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．119}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-188.jpg?height=1162&width=1169&top_left_y=3211&top_left_x=3508}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．120}
\end{figure}
（2）如图 8.120 所示，在球面坐标下，积分区域 $\Omega$ 可表示为 $\displaystyle 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi, 0 \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi}{4}, 0 \leqslant r \leqslant a$ ．
$$
\begin{aligned}
\iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z & =\iiint_{\Omega} r^{2} r^{2} \sin \theta \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta \mathrm{~d} \varphi=\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \int_{0}^{a} r^{4} \sin \varphi \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \varphi \mathrm{~d} \theta \\
& =\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin \varphi \mathrm{~d} \varphi \int_{0}^{a} r^{4} \mathrm{~d} r=2 \pi\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \frac{a^{5}}{5}=\frac{(2-\sqrt{2}) \pi a^{5}}{5}
\end{aligned}
$$
（3）如图 8.121 所示，在球面坐标下，积分区域 $\Omega$ 可表示为 $0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi, 0 \leqslant \varphi \leqslant \pi, 0 \leqslant r \leqslant a$ ．
$$
\begin{aligned}
& \iiint_{V} \sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \\
& =\iiint_{\Omega} \sqrt{a^{2}-r^{2}} \cdot r^{2} \sin \varphi \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \varphi \mathrm{~d} \theta=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\pi} \sin \varphi \mathrm{d} \varphi \int_{0}^{a} \sqrt{a^{2}-r^{2}} \cdot r^{2} \mathrm{~d} r \\
& =4 \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} a \cos t \cdot a^{2} \sin ^{2} t \cdot a \cos t \mathrm{~d} t=\frac{\pi a^{4}}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-\cos 4 t) \mathrm{d} t=\frac{\pi^{2} a^{4}}{4} .
\end{aligned}
$$
（4）如图8．122所示，在球面坐标下积分区域 $\Omega$ 可表示为 $0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi, 0 \leqslant \varphi \leqslant \pi, 0 \leqslant r \leqslant 1$ ．
$$
\iiint_{\Omega} \frac{z \ln \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+1\right)}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+1} \mathrm{~d} V=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\pi} \cos \varphi \sin \varphi \mathrm{d} \varphi \int_{0}^{1} \frac{\ln \left(r^{2}+1\right)}{r^{2}+1} \cdot r^{3} \mathrm{~d} r=0 .
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-189.jpg?height=1085&width=1113&top_left_y=773&top_left_x=1118}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 8.121}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-189.jpg?height=1099&width=1113&top_left_y=759&top_left_x=3709}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．122}
\end{figure}
（5）如图8．122所示，由于 $V$ 是中心对称图形，所以
$$
\iiint_{V}(x+y+z)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=2 \iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \text {, 其中 } \Omega \text { 为 } V \text { 的上半部分. }
$$
在球面坐标下，积分区域 $\Omega$ 可表示为 $\displaystyle 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi, 0 \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi}{2}, 0 \leqslant r \leqslant 1$ ．
$$
\iiint_{V}(x+y+z)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=2 \iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=2 \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin \varphi \mathrm{~d} \varphi \int_{0}^{1} r^{4} \mathrm{~d} r=\frac{4 \pi}{5} .
$$
（6）如图 8.123 所示，在球面坐标下，积分区域 $\Omega$ 可表示为 $0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi, 0 \leqslant \varphi \leqslant \pi, \pi \leqslant r \leqslant 2 \pi$ ．
$$
\iiint_{\Omega} \frac{\cos \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\pi} \sin \varphi \mathrm{d} \varphi \int_{\pi}^{2 \pi} r \cos r \mathrm{~d} r=8 \pi
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-189.jpg?height=1182&width=1327&top_left_y=4420&top_left_x=1036}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．123}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-189.jpg?height=1251&width=1231&top_left_y=4351&top_left_x=3646}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．124}
\end{figure}
（7）如图 8.124 所示，在球面坐标下，积分区域 $\Omega$ 可表示为 $\displaystyle 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi, 0 \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi}{4}, 2 \leqslant r \leqslant 4$ ．
$$
\iiint_{\Omega} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \mathrm{~d} V=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin \varphi \mathrm{~d} \varphi \int_{2}^{4} r^{3} \mathrm{~d} r=60 \pi(2-\sqrt{2})
$$
（8）在球面坐标下，积分区域 $\Omega$ 可表示为 $\displaystyle 0 \leqslant \theta \leqslant \frac{1}{2} \pi, 0 \leqslant \varphi \leqslant \frac{1}{2} \pi, 0 \leqslant r<+\infty$ ．
$$
\iiint_{\Omega} \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+1\right)^{3}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin \varphi \mathrm{~d} \varphi \int_{0}^{\infty} \frac{r^{3}}{\left(1+r^{2}\right)^{3}} \mathrm{~d} r=\frac{\pi}{8} .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析积分区域与对称性
积分区域 $V$ 是球体 $x^2+y^2+z^2 \leq R^2$，被积函数 $(x^2+y^2+z^2)^\alpha$ 是球对称的。因此采用球面坐标变换：$x=r\sin\varphi\cos\theta$, $y=r\sin\varphi\sin\theta$, $z=r\cos\varphi$，其中 $r\in[0,R]$, $\varphi\in[0,\pi]$, $\theta\in[0,2\pi]$。雅可比行列式为 $r^2\sin\varphi$。
公式：球面坐标变换与雅可比行列式
提示：注意 $\varphi$ 是从 $z$ 轴正方向开始的角度，范围 $0$ 到 $\pi$。
步骤 2/5
目标：将三重积分化为累次积分
被积函数在球面坐标下为 $(r^2)^\alpha = r^{2\alpha}$，体积元 $\mathrm{d}V = r^2\sin\varphi \,\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\theta$。因此积分化为：
$$\iiint_V (x^2+y^2+z^2)^\alpha \mathrm{d}V = \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^\pi \sin\varphi \,\mathrm{d}\varphi \int_0^R r^{2\alpha+2} \,\mathrm{d}r.$$
提示：注意 $r^{2\alpha} \cdot r^2 = r^{2\alpha+2}$，不要漏掉 $r^2$。
步骤 3/5
目标：计算角度部分的积分
先计算 $\theta$ 和 $\varphi$ 的积分：
$$\int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta = 2\pi, \quad \int_0^\pi \sin\varphi \,\mathrm{d}\varphi = [-\cos\varphi]_0^\pi = 2.$$
提示：$\int_0^\pi \sin\varphi \,\mathrm{d}\varphi = 2$，不是 $1$。
步骤 4/5
目标：计算径向部分的积分
计算 $r$ 的积分：
$$\int_0^R r^{2\alpha+2} \,\mathrm{d}r = \left[\frac{r^{2\alpha+3}}{2\alpha+3}\right]_0^R = \frac{R^{2\alpha+3}}{2\alpha+3}.$$
公式：幂函数积分公式 $\int r^n \mathrm{d}r = \frac{r^{n+1}}{n+1}$
提示：注意 $2\alpha+3 \neq 0$，因为 $\alpha>0$。
步骤 5/5
目标：合并结果
将三部分相乘得到最终结果：
$$\iiint_V (x^2+y^2+z^2)^\alpha \mathrm{d}V = 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{R^{2\alpha+3}}{2\alpha+3} = \frac{4\pi}{2\alpha+3} R^{2\alpha+3}.$$
提示：检查系数：$2\pi \times 2 = 4\pi$。
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