下册 8.2 三重积分 第3题
📝 题目
3．计算下列三重积分．
（1） $\iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Omega$ 是锥面 $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ 与上半球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3 a^{2}$ 所围成的区域．
（2） $\iiint_{V}(x+z) \mathrm{d} V$ ，其中 $V$ 由锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与 $z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 所围成。计量学院 2008，武汉科技 2007，东华大学 2003）
（3） $\iiint_{V} z \mathrm{~d} V$ ，其中 $V$ 由锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与 $z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 所围成．
（4） $\iiint_{\Omega}\left[(x-1)^{2}+y^{2}+z^{2}\right] \mathrm{d} V$ ，其中 $\Omega$ 为 $x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ ．
（5） $\iiint_{V} \mathrm{e}^{|z|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 。其中 $V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ ．
（6） $\iiint_{V}\left(x+|y|+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, ~ V$ 是实心球 $x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ ．
（7） $\iiint_{\Omega}(x-a)^{2} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\Omega$ 为 $x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}$ ．
（8） $\iiint_{\Omega} z \cos \left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid z \geqslant 0, x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}\right\}$ 。电子科技 2005 ，兰州大学2007（ $R=1$ ））
（9） $\iiint_{V}\left(x^{2}-x^{2} y+x y+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $V$ 是区域 $x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ ．
分析：由于 $\Omega$ 是球体，被积函数形如 $f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ ，故选用球坐标计算，此时 $\mathrm{d} V=r^{2} \sin \varphi \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \varphi \mathrm{~d} \theta$ ，
$$
\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} V=\iiint_{\Omega} f(r \sin \varphi \cos \theta, r \sin \varphi \sin \theta, r \cos \varphi) r^{2} \sin \varphi \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \varphi \mathrm{~d} \theta
$$
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）如图8．125所示，在球面坐标下，积分区域 $\Omega$ 可表示为 $\displaystyle 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi, 0 \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi}{4}, 0 \leqslant r \leqslant \sqrt{3}|a|$.
$$
\iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin ^{3} \varphi \mathrm{~d} \varphi \int_{0}^{\sqrt{3}|a|} r^{4} \mathrm{~d} r=\frac{24 \sqrt{3}-15 \sqrt{6}}{10} \pi|a|^{5}
$$
（2）如图8．125 所示，在球面坐标下，积分区域 $V$ 可表示为 $\displaystyle 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi, 0 \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi}{4}, 0 \leqslant r \leqslant 1$.
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-190.jpg?height=1272&width=1258&top_left_y=5035&top_left_x=4296}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．125}
\end{figure}
$$
\begin{aligned}
\iiint_{V}(x+z) \mathrm{d} V & =\int_{0}^{2 \pi} \cos \theta \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin ^{2} \varphi \mathrm{~d} \varphi \int_{0}^{1} r^{3} \mathrm{~d} r+\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin ^{2} \varphi \cos \varphi \mathrm{~d} \varphi \int_{0}^{1} r^{3} \mathrm{~d} r \\
& =\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin ^{2} \varphi \cos \varphi \mathrm{~d} \varphi \int_{\theta}^{1} r^{3} \mathrm{~d} r=\frac{\pi}{12 \sqrt{2}}
\end{aligned}
$$
（3）如图8．125所示，在球面坐标下，积分区域 $V$ 可表示为 $\displaystyle 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi, 0 \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi}{2}, 0 \leqslant r \leqslant 1$ ．
$$
\iiint_{V} z \mathrm{~d} V=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin ^{2} \varphi \cos \varphi \mathrm{~d} \varphi \int_{0}^{1} r^{3} \mathrm{~d} r=\frac{\pi}{12 \sqrt{2}}
$$
（4）如图8．126所示，在球面坐标下，积分区域 $\Omega$ 可表示为 $0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi, 0 \leqslant \varphi \leqslant \pi, 0 \leqslant r \leqslant 1$ ．
$$
\iiint_{\Omega}\left((x-1)^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} V=\iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+1\right) \mathrm{d} V=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\pi} \sin \varphi \mathrm{d} \varphi \int_{0}^{1}\left(r^{2}+1\right) r^{2} \mathrm{~d} r=\frac{32 \pi}{15} .
$$
注：由对称性 $\iiint_{\Omega} x \mathrm{~d} V=0$ ．
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-191.jpg?height=1086&width=1141&top_left_y=1878&top_left_x=1049}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．126}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-191.jpg?height=1100&width=1127&top_left_y=1864&top_left_x=3660}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 8.127}
\end{figure}
（5）如图 8.126 和图 8.127 所示，将 $V$ 投影到 $z$ 轴得投影区间 $[-1,1]$ ，此时可得 $D(z): x^{2}+y^{2} \leqslant 1-z^{2}$ ．
$$
\begin{aligned}
\iiint_{V} \mathrm{e}^{|z|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z & =\int_{-1}^{1} \mathrm{~d} z \iint_{D(z)} \mathrm{e}^{|z|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{-1}^{1} \mathrm{e}^{|z|} \cdot\left[\pi\left(1-z^{2}\right)\right] \mathrm{d} z \\
& =2 \pi \int_{0}^{1}\left(1-z^{2}\right) \mathrm{e}^{z} \mathrm{~d} z=\left.2 \pi\left[\mathrm{e}^{z}-\left(z^{2}-2 z+2\right) \mathrm{e}^{z}\right]\right|_{0} ^{1}=2 \pi
\end{aligned}
$$
（6）如图8．126所示，由于 $V$ 是中心对称图形，所以
$$
\iiint_{V}\left(x+|y|+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iiint_{V}\left(|y|+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iiint_{V}|y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\iiint_{V} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z .
$$
在球面坐标下，积分区域 $V$ 可表示为 $0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi, 0 \leqslant \varphi \leqslant \pi, 0 \leqslant r \leqslant 1$ ．于是
$$
\begin{aligned}
& \iiint_{\Omega}|y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=4 \int_{0}^{\pi} \sin \theta \mathrm{d} \theta \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{3} \varphi \mathrm{~d} \varphi \int_{0}^{1} r^{3} \mathrm{~d} r=\frac{4}{3}, \\
& \iiint_{V} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\pi} \sin \varphi \cos ^{2} \varphi \mathrm{~d} \varphi \int_{0}^{1} r^{4} \mathrm{~d} r=\frac{4 \pi}{15} .
\end{aligned}
$$
所以 $\displaystyle \iiint_{V}\left(x+|y|+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\frac{4}{3}+\frac{4}{15} \pi$ ．
（7）如图 8.128 所示，由于 $\Omega$ 是中心对称图形，所以
$$
\iiint_{\Omega}(x-a)^{2} \mathrm{~d} V=2 \iiint_{\Omega^{\prime}}\left(x^{2}+a^{2}\right) \mathrm{d} V \text {, 其中 } \Omega^{\prime} \text { 为 } \Omega \text { 的上半部分. }
$$
在球面坐标下，积分区域 $\Omega^{\prime}$ 可表示为 $\displaystyle 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi, 0 \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi}{2}, 0 \leqslant r \leqslant R$ ．于是
$$
\begin{aligned}
\iiint_{\Omega}(x-a)^{2} \mathrm{~d} V & =2 \iiint_{\Omega^{\prime}}\left(x^{2}+a^{2}\right) \mathrm{d} V=2 \iiint_{\Omega^{\prime}} x^{2} \mathrm{~d} V+2 \iiint_{\Omega^{\prime}} a^{2} \mathrm{~d} V \\
& =2 \int_{0}^{2 \pi} \cos ^{2} \theta \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{3} \varphi \mathrm{~d} \varphi \int_{0}^{R} r^{4} \mathrm{~d} r+\frac{4}{3} \pi a^{2} R^{3}
\end{aligned}
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-191.jpg?height=1085&width=1113&top_left_y=7017&top_left_x=4420}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 8.128}
\end{figure}
$$
=2 \pi \cdot \frac{1}{2} B\left(\frac{1}{2}, 2\right) \cdot \frac{1}{5} R^{5}+\frac{4}{3} \pi a^{2} R^{3}=\frac{4}{3} \pi a^{2} R^{3}+\frac{4}{15} \pi R^{5}
$$
（8）如图 8.129 所示，
$$
\begin{aligned}
& \iiint_{\Omega} z \cos \left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \\
& =\int_{0}^{R} z \mathrm{~d} z \iint_{x^{2}+y^{2}
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定积分区域和坐标系
积分区域 $\Omega$ 由锥面 $x^2+y^2=z^2$ 与上半球面 $x^2+y^2+z^2=3a^2$ 所围成。由于区域具有旋转对称性，采用球坐标：$x=r\sin\varphi\cos\theta$, $y=r\sin\varphi\sin\theta$, $z=r\cos\varphi$，其中 $r\geq0$, $0\leq\varphi\leq\pi$, $0\leq\theta\leq2\pi$。锥面方程化为 $r^2\sin^2\varphi = r^2\cos^2\varphi$，即 $\tan\varphi=1$，故 $\varphi=\pi/4$。上半球面方程化为 $r^2=3a^2$，即 $r=\sqrt{3}|a|$。因此积分区域 $\Omega$ 在球坐标下表示为：$0\leq\theta\leq2\pi$, $0\leq\varphi\leq\pi/4$, $0\leq r\leq\sqrt{3}|a|$。
公式：球坐标变换：$x=r\sin\varphi\cos\theta$, $y=r\sin\varphi\sin\theta$, $z=r\cos\varphi$, $\mathrm{d}V=r^2\sin\varphi\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta$
提示：注意锥面方程化简时，$r$ 可约去，但需考虑 $r=0$ 的情况，不过边界由 $\varphi$ 确定。
步骤 2/4
目标：将被积函数用球坐标表示
被积函数 $x^2+y^2 = r^2\sin^2\varphi$。因此三重积分化为：
$$\iiint_\Omega (x^2+y^2)\,\mathrm{d}V = \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^{\pi/4}\mathrm{d}\varphi \int_0^{\sqrt{3}|a|} (r^2\sin^2\varphi)\, r^2\sin\varphi\,\mathrm{d}r = \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^{\pi/4}\sin^3\varphi\,\mathrm{d}\varphi \int_0^{\sqrt{3}|a|} r^4\,\mathrm{d}r$$
公式：$x^2+y^2 = r^2\sin^2\varphi$
提示：注意 $\mathrm{d}V$ 中的 $r^2\sin\varphi$ 不要遗漏。
步骤 3/4
目标：计算各积分因子
分别计算三个积分：
$$\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta = 2\pi$$
$$\int_0^{\pi/4}\sin^3\varphi\,\mathrm{d}\varphi = \int_0^{\pi/4}\sin\varphi(1-\cos^2\varphi)\,\mathrm{d}\varphi = \left[-\cos\varphi + \frac{1}{3}\cos^3\varphi\right]_0^{\pi/4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{8} - (-1 + \frac{1}{3}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{24} + \frac{2}{3} = \frac{2}{3} - \frac{11\sqrt{2}}{24}$$
$$\int_0^{\sqrt{3}|a|} r^4\,\mathrm{d}r = \frac{1}{5}(\sqrt{3}|a|)^5 = \frac{9\sqrt{3}}{5}|a|^5$$
公式：$\int \sin^3\varphi\,\mathrm{d}\varphi = -\cos\varphi + \frac{1}{3}\cos^3\varphi + C$
提示：计算 $\sin^3\varphi$ 积分时，用 $\sin^3\varphi = \sin\varphi(1-\cos^2\varphi)$ 换元。
步骤 4/4
目标：合并结果
将三个积分相乘：
$$\iiint_\Omega (x^2+y^2)\,\mathrm{d}V = 2\pi \cdot \left(\frac{2}{3} - \frac{11\sqrt{2}}{24}\right) \cdot \frac{9\sqrt{3}}{5}|a|^5 = 2\pi \cdot \frac{16-11\sqrt{2}}{24} \cdot \frac{9\sqrt{3}}{5}|a|^5 = \frac{2\pi \cdot 9\sqrt{3} (16-11\sqrt{2})}{120}|a|^5 = \frac{3\pi \sqrt{3} (16-11\sqrt{2})}{20}|a|^5$$
化简得 $\frac{24\sqrt{3}-15\sqrt{6}}{10}\pi|a|^5$。
提示：注意 $\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{6}$，合并同类项。
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