下册 8.2 三重积分 第8题
📝 题目
8．计算下列三重积分．
（1） $\iiint_{V} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $V$ 是由 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 与 $z=0$ 所围成的 $x y$ 面以上部分．
（2） $\displaystyle \iiint_{V} f\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $V$ 为椭球体 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leqslant 1 .(f(t)=\sqrt{1-t}$ ：郑州大学 2007；$f(t)=t$ ：河南师大 2013，湖北大学 2007，山东大学 2007，河海大学 2006，南京农大 2009，海南师大 2012，陕西师大1997，矿业大学2010，曲阜师大 2009（ $a=b=c=1$ ）；$f(t)=\ln t$ ：广西民大 2010）
（3） $\displaystyle \iiint_{V}\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $V$ 为椭球体 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leqslant 1$ 在第一卦限的部分．（华中科技
（4） $\iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $V$ 为椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 的内部区域．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）如图 8.148 所示，$\forall z \in[0, c]$ ，记 $\displaystyle D(z): \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \leqslant 1-\frac{z^{2}}{c^{2}}$ ．于是
$$
\iiint_{V} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\int_{0}^{c} z \mathrm{~d} z \iint_{D(z)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{0}^{c} z \cdot \pi a b\left(1-\frac{z^{2}}{c^{2}}\right) \mathrm{d} z=\frac{\pi}{4} a b c^{2} .
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-202.jpg?height=830&width=1376&top_left_y=2569&top_left_x=994}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．148}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-202.jpg?height=948&width=1404&top_left_y=2458&top_left_x=3494}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．149}
\end{figure}
（2）如图8．149所示，在广义球面坐标变换 $x=a r \sin \varphi \cos \theta, y=b r \sin \varphi \sin \theta, z=c r \cos \varphi$ 下，积分区域 $V$ 可表示为 $0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi, 0 \leqslant \varphi \leqslant \pi, 0 \leqslant r \leqslant 1$ ．于是
$$
\begin{aligned}
\iiint_{V} f\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z & =a b c \iiint_{V^{\prime}} f\left(r^{2}\right) r^{2} \sin \varphi \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta \mathrm{~d} \varphi \\
& =a b c \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\pi} \sin \varphi \mathrm{d} \varphi \int_{0}^{1} \sqrt{1-r^{2}} r^{2} \mathrm{~d} r=4 \pi a b c \int_{0}^{1} \sqrt{1-r^{2}} r^{2} \mathrm{~d} r
\end{aligned}
$$
由此可得
$$
\begin{aligned}
& \iiint_{V} \sqrt{1-\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=4 \pi a b c \int_{0}^{1} \sqrt{1-r^{2}} r^{2} \mathrm{~d} r=\frac{\pi^{2}}{4} a b c . \\
& \iiint_{V}\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=4 \pi a b c \int_{0}^{1} r^{4} \mathrm{~d} r=\frac{4}{5} \pi a b c . \\
& \iiint_{V} \ln \left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=4 \pi a b c \int_{0}^{1} r^{2} \cdot \ln r^{2} \mathrm{~d} r=-\frac{8}{9} \pi a b c .
\end{aligned}
$$
（3）令 $x=a r \sin \varphi \cos \theta, y=b r \sin \varphi \sin \theta, z=c r \cos \varphi$ ，则 $V$ 可表示为 $\displaystyle 0 \leqslant \theta \leqslant \frac{1}{2} \pi, 0 \leqslant \varphi \leqslant \frac{1}{2} \pi$ ， $0 \leqslant r \leqslant 1$ ．于是
$$
\iiint_{V}\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\int_{0}^{\frac{1}{2} \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\frac{1}{2} \pi} \sin \varphi \mathrm{~d} \varphi \int_{0}^{1} a b c r^{4} \mathrm{~d} r=\frac{1}{10} \pi a b c .
$$
（4）先计算 $\iiint_{V} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z . \forall z \in[0, c]$ ，记 $\displaystyle D(z): \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \leqslant 1-\frac{z^{2}}{c^{2}}$ 。于是
$$
\iiint_{V} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\int_{0}^{c} z^{2} \mathrm{~d} z \iint_{D(z)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{0}^{c} z^{2} \cdot \pi a b\left(1-\frac{z^{2}}{c^{2}}\right) \mathrm{d} z=\frac{2}{15} \pi a b c^{2} .
$$
同样方法可得 $\displaystyle \iiint_{V} x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\frac{2}{15} \pi a^{3} b c, \iiint_{V} y^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\frac{2}{15} \pi a b^{3} c$ ．
所以 $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\frac{2 \pi a b c}{15}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：计算三重积分 (1) 的积分区域分析
积分区域 $V$ 是椭球体 $ rac{x^2}{a^2}+ rac{y^2}{b^2}+ rac{z^2}{c^2}=1$ 在 $z\geq 0$ 的部分。对于固定的 $z\in[0,c]$，截面 $D(z)$ 是椭圆 $ rac{x^2}{a^2}+ rac{y^2}{b^2}\leq 1-\frac{z^2}{c^2}$，其面积为 $\pi a b\left(1-\frac{z^2}{c^2}\right)$。
公式：椭圆面积公式 $S = \pi ab$
提示：注意 $z$ 的范围是从 $0$ 到 $c$，截面是椭圆，面积公式中 $a,b$ 需乘以缩放因子。
步骤 2/8
目标：计算三重积分 (1) 的积分过程
利用先二后一法：
$$
\iiint_V z\,dxdydz = \int_0^c z\,dz \iint_{D(z)} dxdy = \int_0^c z \cdot \pi a b\left(1-\frac{z^2}{c^2}\right) dz = \pi a b \int_0^c \left(z - \frac{z^3}{c^2}\right) dz.
$$
计算得 $\pi a b \left[\frac{z^2}{2} - \frac{z^4}{4c^2}\right]_0^c = \pi a b \left(\frac{c^2}{2} - \frac{c^2}{4}\right) = \frac{\pi}{4} a b c^2$。
公式：先二后一法：$\iiint_V f(z) dxdydz = \int_{z_1}^{z_2} f(z) S(z) dz$
提示：积分时注意幂函数积分公式，避免计算错误。
步骤 3/8
目标：计算三重积分 (2) 的变量替换
采用广义球坐标变换：$x = a r \sin\varphi \cos\theta$, $y = b r \sin\varphi \sin\theta$, $z = c r \cos\varphi$，雅可比行列式为 $|J| = abc r^2 \sin\varphi$。积分区域 $V$ 变为 $0\leq \theta\leq 2\pi$, $0\leq \varphi\leq \pi$, $0\leq r\leq 1$。被积函数 $f\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\right) = f(r^2)$。
公式：广义球坐标变换及雅可比行列式
提示：注意雅可比行列式包含 $abc$ 因子，$r^2$ 来自 $r^2\sin\varphi$。
步骤 4/8
目标：计算三重积分 (2) 的积分结果
积分化为：
$$
\iiint_V f(r^2) dxdydz = abc \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\pi \sin\varphi d\varphi \int_0^1 f(r^2) r^2 dr = 4\pi abc \int_0^1 f(r^2) r^2 dr.
$$
对于 $f(t)=\sqrt{1-t}$，则 $f(r^2)=\sqrt{1-r^2}$，积分 $\int_0^1 \sqrt{1-r^2} r^2 dr = \frac{\pi}{16}$，故结果为 $\frac{\pi^2}{4} abc$。
对于 $f(t)=t$，则 $f(r^2)=r^2$，积分 $\int_0^1 r^4 dr = \frac{1}{5}$，结果为 $\frac{4}{5}\pi abc$。
对于 $f(t)=\ln t$，则 $f(r^2)=\ln(r^2)=2\ln r$，积分 $\int_0^1 r^2 \cdot 2\ln r dr = -\frac{2}{9}$，结果为 $-\frac{8}{9}\pi abc$。
公式：球坐标下三重积分公式
提示：计算 $\int_0^1 \sqrt{1-r^2} r^2 dr$ 时可用三角代换 $r=\sin u$；注意 $\ln r$ 在 $r=0$ 处瑕积分，需验证收敛。
步骤 5/8
目标：计算三重积分 (3) 的变量替换与积分
同样采用广义球坐标变换，但积分区域为第一卦限，故 $\theta\in[0,\pi/2]$, $\varphi\in[0,\pi/2]$, $r\in[0,1]$。被积函数为 $r^2$，雅可比行列式 $abc r^2\sin\varphi$。积分：
$$
\iiint_V r^2 dxdydz = abc \int_0^{\pi/2} d\theta \int_0^{\pi/2} \sin\varphi d\varphi \int_0^1 r^4 dr = abc \cdot \frac{\pi}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{5} = \frac{\pi}{10} abc.
$$
公式：广义球坐标变换
提示：注意积分限的变化：第一卦限对应 $\theta$ 和 $\varphi$ 均为 $0$ 到 $\pi/2$。
步骤 6/8
目标：计算三重积分 (4) 的对称性分析
由于椭球体关于坐标平面对称，且被积函数 $x^2+y^2+z^2$ 是偶函数，可利用对称性分别计算 $\iiint_V x^2 dxdydz$, $\iiint_V y^2 dxdydz$, $\iiint_V z^2 dxdydz$。
公式：对称性：若区域关于 $x=0$ 对称，$f$ 为 $x$ 的偶函数，则积分等于一半区域积分的两倍。
提示：注意：这里利用对称性简化计算，但需确保被积函数在对称区域上可积。
步骤 7/8
目标：计算三重积分 (4) 中 $\iiint_V z^2 dxdydz$
采用先二后一法：对于固定 $z\in[-c,c]$，截面 $D(z)$ 面积为 $\pi a b\left(1-\frac{z^2}{c^2}\right)$。则
$$
\iiint_V z^2 dxdydz = \int_{-c}^c z^2 \cdot \pi a b\left(1-\frac{z^2}{c^2}\right) dz = 2\pi a b \int_0^c z^2\left(1-\frac{z^2}{c^2}\right) dz = 2\pi a b \left[\frac{c^3}{3} - \frac{c^3}{5}\right] = \frac{4\pi a b c^3}{15}.
$$
注意：原答案中写为 $\frac{2}{15}\pi a b c^2$，但应为 $\frac{4}{15}\pi a b c^3$？检查：$\int_0^c z^2(1-z^2/c^2)dz = \frac{c^3}{3} - \frac{c^3}{5} = \frac{2c^3}{15}$，乘以 $2\pi a b$ 得 $\frac{4\pi a b c^3}{15}$。但原答案中写为 $\frac{2}{15}\pi a b c^2$，可能笔误。正确应为 $\frac{4}{15}\pi a b c^3$。类似地，$\iiint_V x^2 dxdydz = \frac{4}{15}\pi a^3 b c$，$\iiint_V y^2 dxdydz = \frac{4}{15}\pi a b^3 c$。
公式：先二后一法
提示：注意积分限对称，利用偶函数性质简化；计算时注意幂函数积分。
步骤 8/8
目标：计算三重积分 (4) 的最终结果
将三个积分相加：
$$
\iiint_V (x^2+y^2+z^2) dxdydz = \frac{4\pi abc}{15}(a^2+b^2+c^2).
$$
注意：原答案中系数为 $\frac{2\pi abc}{15}$，但根据上述计算应为 $\frac{4\pi abc}{15}$。请核对原题答案。
公式：积分线性性质
提示：最终结果需合并同类项，注意系数正确性。
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