下册 8.2 三重积分 第9题
📝 题目
9．设 $V$ 是由曲面 $\displaystyle x^{2}+\frac{1}{2}(y-z)^{2}=R^{2}, z=0, z=h$ 所围成的区域，计算下列三重积分．
（1） $\iiint_{V}(y-z) \arctan z \mathrm{~d} V$ 。
（2） $\iiint_{\Omega}(y-z)^{3} \arctan z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 。
💡 答案解析
解题过程：
作变换 $\displaystyle u=x, v=\frac{1}{\cdot \sqrt{2}}(y-z), w=z$ ，即 $x=u, y=\sqrt{2} v+w, z=w$ ，则 $\displaystyle J=\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)}=\sqrt{2}$ 。积分区域 $V$ 可表示为 $\Omega: u^{2}+v^{2} \leqslant R^{2}, 0 \leqslant w \leqslant h$ ．于是
（1） $\iiint_{V}(y-z) \arctan z \mathrm{~d} V=\iiint_{\Omega} \sqrt{2} v \arctan w \cdot \sqrt{2} \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v \mathrm{~d} w=2 \iiint_{\Omega} v \cdot \arctan w \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v \mathrm{~d} w$
$$
=2 \int_{0}^{h} \arctan w \mathrm{~d} w \iint_{u^{2}+v^{2} \leqslant R^{2}} v \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v .
$$
由于 $\iint_{u^{2}+v^{2} \leqslant R^{2}} v \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v=0$ ，所以 $\iiint_{V}(y-z) \arctan z \mathrm{~d} V=0$ ．
（2） $\iiint_{\Omega}(y-z)^{3} \arctan z \mathrm{~d} V=\iiint_{V} 2 \sqrt{2} v^{3} \arctan w \cdot \sqrt{2} \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v \mathrm{~d} w=4 \iiint_{V} v^{3} \arctan w \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v \mathrm{~d} w$
$$
=4 \int_{0}^{h} \arctan w \mathrm{~d} w \iint_{u^{2}+v^{2}
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：变量变换
作变换 $u=x$, $v=\frac{1}{\sqrt{2}}(y-z)$, $w=z$，即 $x=u$, $y=\sqrt{2}v+w$, $z=w$。则雅可比行列式为 $J=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}=\begin{vmatrix}1&0&0\\0&\sqrt{2}&1\\0&0&1\end{vmatrix}=\sqrt{2}$。
公式：$J=\sqrt{2}$
提示：注意变换后变量范围的变化，以及雅可比行列式的计算。
步骤 2/6
目标：确定新积分区域
原区域 $V$ 由 $x^2+\frac{1}{2}(y-z)^2=R^2$, $z=0$, $z=h$ 围成。代入变换得 $u^2+v^2=R^2$, $w=0$, $w=h$。因此新区域 $\Omega$ 为 $u^2+v^2\leq R^2$, $0\leq w\leq h$。
提示：注意 $y-z=\sqrt{2}v$，所以 $\frac{1}{2}(y-z)^2=v^2$。
步骤 3/6
目标：计算第一个三重积分（变换后）
原积分 $\iiint_V (y-z)\arctan z\,dV$ 变换为 $\iiint_\Omega \sqrt{2}v\arctan w \cdot \sqrt{2}\,du\,dv\,dw = 2\iiint_\Omega v\arctan w\,du\,dv\,dw$。
公式：$\iiint_V f\,dV = \iiint_\Omega f\cdot|J|\,du\,dv\,dw$
提示：注意 $dV = |J|\,du\,dv\,dw$，且 $y-z=\sqrt{2}v$。
步骤 4/6
目标：分离变量并积分
将积分分解为 $2\int_0^h \arctan w\,dw \iint_{u^2+v^2\leq R^2} v\,du\,dv$。由于被积函数 $v$ 关于 $v$ 是奇函数，且积分区域关于 $v=0$ 对称，所以二重积分为 $0$。因此整个积分为 $0$。
公式：$\iint_{u^2+v^2\leq R^2} v\,du\,dv = 0$
提示：对称性：区域关于 $v=0$ 对称，被积函数 $v$ 是奇函数，故积分为零。
步骤 5/6
目标：计算第二个三重积分（变换后）
原积分 $\iiint_V (y-z)^3\arctan z\,dV$ 变换为 $\iiint_\Omega (\sqrt{2}v)^3\arctan w \cdot \sqrt{2}\,du\,dv\,dw = 4\iiint_\Omega v^3\arctan w\,du\,dv\,dw$。
公式：$(y-z)^3 = (\sqrt{2}v)^3 = 2\sqrt{2}v^3$，乘以 $|J|=\sqrt{2}$ 得 $4v^3$
提示：注意幂次计算。
步骤 6/6
目标：分离变量并积分
分解为 $4\int_0^h \arctan w\,dw \iint_{u^2+v^2\leq R^2} v^3\,du\,dv$。由于 $v^3$ 是 $v$ 的奇函数，区域对称，二重积分为 $0$，故整个积分为 $0$。
公式：$\iint_{u^2+v^2\leq R^2} v^3\,du\,dv = 0$
提示：同样利用奇函数对称性。
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