下册 8.2 三重积分 第16题
📝 题目
16．求立体的体积．
（1）求由曲面 $a z=x^{2}+y^{2}(a>0)$ 和 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所围成的立体的体积．（中南大学 2002，桂林电子科技 2013（ $a=2$ ））
（2）求由圆柱面 $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ 与 $x^{2}+z^{2}=a^{2}(a>0)$ 所围立体的体积．
（3）求由曲面 $z=6-\left(2 x^{2}+y^{2}\right)$ 与 $z=x^{2}+2 y^{2}$ 所围立体的体积．（桂林电子科大 2010）
（4）求由锥面 $\displaystyle z=\frac{h}{R} \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ，平面 $z=0$ 及圆柱面 $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ 所围立体的体积．
（5）求球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 R^{2}$ 的内部被柱面 $x^{2}+y^{2}=2 R x$ 所划出的部分的体积．（太原理工 2008（ $a=2 R, z>0$ ），福建师大 2004）
（6）计算曲面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 和 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=\frac{a^{2}}{4}$ 所围成的空间区域的体积．
（7）求由半径为 $a$ 的球面与顶点在球心，顶角为 $2 \alpha$ 的圆锥面所围成的区域的体积 $\displaystyle \left(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\right)$ ．
（8）求由圆锥体 $z \geqslant \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 和球体 $x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2} \leqslant a^{2}$ 所围成的立体的体积 $(a>0)$ ．
（9）求由曲面 $x^{2}+y^{2}+a z=4 a^{2}$ 将球体 $x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 4 a z$ 分成两部分的体积之比．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）如图8．160所示，设所围立体的体积为 $V$ ，应用柱坐标变换得
$$
V=\iiint_{V} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{a} r \mathrm{~d} r \int_{\frac{r^{2}}{a}}^{r} \mathrm{~d} z=2 \pi \int_{0}^{a} r\left(r-\frac{r^{2}}{a}\right) \mathrm{d} r=\frac{1}{6} \pi a^{3} .
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-211.jpg?height=1189&width=1126&top_left_y=6858&top_left_x=1257}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．160}
\end{figure}
\begin{figure}
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\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．161}
\end{figure}
（2）如图8．161，设所围立体的体积为 $V, D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}$ ．由对称性得
$$
V=8 \iint_{D} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=8 \int_{0}^{a} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} y=8 \int_{0}^{a}\left(a^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} x=\frac{16}{3} a^{3}
$$
（3）如图8．162 所示，由 $z=6-\left(2 x^{2}+y^{2}\right), z=x^{2}+2 y^{2}$ 可得 $x^{2}+y^{2}=2$ 。投影区域为 $D: x^{2}+y^{2} \leqslant 2$ ．记 $D_{1}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}$ ．由对称性得
$$
\begin{aligned}
V & =4 \iint_{D_{1}}\left[6-\left(2 x^{2}+y^{2}\right)\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y-4 \iint_{D_{1}}\left(x^{2}+2 y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
& =12 \iint_{D_{1}}\left(2-x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=12 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\sqrt{2}}\left(2-r^{2}\right) r \mathrm{~d} r=6 \pi
\end{aligned}
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-212.jpg?height=1099&width=1348&top_left_y=2859&top_left_x=1008}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．162}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-212.jpg?height=1092&width=961&top_left_y=2852&top_left_x=3722}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．163}
\end{figure}
（4）如图8．163所示，由 $\displaystyle z=\frac{h}{R} \sqrt{x^{2}+y^{2}}, R^{2}=x^{2}+y^{2}$ 得 $z=h$ ．于是所得立体的体积
$$
V=\pi R^{2} h-\frac{1}{3} \pi R^{2} h=\frac{2}{3} \pi R^{2} h
$$
（5）如图8．164所示，记 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2 R x, y \geqslant 0\right\}$ ．由对称性知曲顶柱体的体积
$$
\begin{aligned}
V & =4 \iint_{D} \sqrt{4 R^{2}-x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{2 R \cos \theta} \sqrt{4 R^{2}-r^{2}} r \mathrm{~d} r=-\left.\frac{4}{3} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(4 R^{2}-r^{2}\right)^{\frac{3}{2}}\right|_{0} ^{2 R \cos \theta} \mathrm{~d} \theta \\
& =\frac{32}{3} R^{3} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(1-\sin ^{3} \theta\right) \mathrm{d} \theta=\frac{32 R^{3}}{3}\left(\frac{\pi}{2}-\frac{2!!}{3!!}\right)=\frac{16 R^{3}}{9}(3 \pi-4)
\end{aligned}
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-212.jpg?height=1044&width=1189&top_left_y=6161&top_left_x=1084}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 8.164}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-212.jpg?height=1031&width=1182&top_left_y=6174&top_left_x=3446}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．165}
\end{figure}
（6）如图8．165所示，以 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant \frac{a^{2}}{4}$ 为底，$z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}$ 为顶的曲顶柱体的体积
$$
V_{1}=\iint_{D} \sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\frac{a}{2}} \sqrt{a^{2}-r^{2}} r \mathrm{~d} r=\frac{2 \pi a^{3}}{3}\left(1-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)
$$
由对称性知所求立体的体积 $\displaystyle V=\frac{4 \pi a^{3}}{3}-\frac{4 \pi a^{3}}{3}\left(1-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{\sqrt{2} \pi a^{3}}{3}$ ．
（7）设球面方程为 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ ，顶角为 $2 \alpha$ 的圆锥面为 $x^{2}+y^{2}=z^{2} \tan ^{2} \alpha$ ．如图8．166所示．两曲面在上半空间的交线方程为
$$
z=\sqrt{\frac{a^{2}}{1+\tan ^{2} \alpha}}, x^{2}+y^{2}=\frac{a^{2}}{1+\tan ^{2} \alpha} \tan ^{2} \alpha .
$$
记 $\displaystyle D=\left\{(x, y): x^{2}+y^{2} \leqslant \frac{a^{2}}{1+\tan ^{2} \alpha} \tan ^{2} \alpha=R^{2}\right\}$ ．由上下对称性，曲面所围区域的体积为
$$
\begin{aligned}
V & =2 \iint_{D} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \int_{\frac{1}{\tan \alpha} \sqrt{x^{x^{2}+y^{2}}}}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}} \mathrm{~d} z=2 \iint_{D}\left(\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}-\frac{1}{\tan \alpha} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
& =2 \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{R}\left(\sqrt{a^{2}-r^{2}}-\frac{1}{\tan \alpha} r\right) r \mathrm{~d} r=4 \pi \cdot \frac{1}{3}\left[a^{3}-\left(a^{2}-R^{2}\right)^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{\tan \alpha} R^{3}\right] \\
& =2 \cdot 2 \pi \cdot \frac{1}{3} a^{3}\left(1-\frac{1}{\sqrt{1+\tan ^{2} \alpha}}\right)=\frac{4 \pi}{3} a^{3}(1-\cos \alpha) .
\end{aligned}
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-213.jpg?height=1044&width=1051&top_left_y=3950&top_left_x=1250}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．166}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-213.jpg?height=1092&width=898&top_left_y=3909&top_left_x=3709}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．167}
\end{figure}
（8）如图8．167所示，令 $x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$ ，则 $0 \leqslant r \leqslant a, 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi$ 。于是
$$
V=\iiint \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{a} \mathrm{~d} r \int_{r}^{a+\sqrt{a-r^{2}}} r \mathrm{~d} z=\pi a^{3} .
$$
（9）如图 8.168 所示，两曲面的交线 $\Gamma:\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+a z=4 a^{2} \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 a z\end{array}\right.$ 得 $z^{2}-5 a z+4 a^{2}=0$ ，即 $z=a$ 或 $z=4 a$ ．两曲面的交线为 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=3 a^{2}, \\ z=a,\end{array}\right.$ 交点为 $(0,0,4 a)$ ．
记 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid 4 a z-z^{2} \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4 a^{2}-a z\right\} . \Omega$ 在 $x O y$ 平面上的投影区域为 $D_{x O y}: x^{2}+y^{2} \leqslant 3 a^{2}$ ．所以 $\Omega$ 的体积为
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-213.jpg?height=1231&width=1140&top_left_y=6022&top_left_x=4434}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．168}
\end{figure}
$$
\begin{aligned}
V & =\iint_{D_{x y}}\left[\frac{1}{a}\left(4 a^{2}-x^{2}-y^{2}\right)-\left(2 a-\sqrt{4 a^{2}-x^{2}-y^{2}}\right)\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
& =\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\sqrt{3} a}\left[\frac{1}{a}\left(4 a^{2}-r^{2}\right)-\left(2 a-\sqrt{4 a^{2}-r^{2}}\right] r \mathrm{~d} r\right.
\end{aligned}
$$
$$
=\left.2 \pi\left[\frac{1}{a}\left(2 a^{2} r^{2}-\frac{1}{4} r^{4}\right)-\left(a r^{2}+\frac{1}{3}\left(4 a^{2}-r^{2}\right)^{\frac{3}{2}}\right)\right]\right|_{0} ^{\sqrt{3} a}=\frac{37}{6} \pi a^{3}
$$
所求的体积之比为 $\displaystyle \frac{V}{\frac{4}{3} \pi(2 a)-V}=\frac{37}{64-37}=\frac{37}{27}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定积分区域和坐标系
由曲面 $a z = x^2 + y^2$（开口向上的旋转抛物面）和 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$（圆锥面）围成立体。联立方程消去 $z$ 得 $a \sqrt{x^2 + y^2} = x^2 + y^2$，即 $r^2 = a r$，解得 $r = 0$ 或 $r = a$。因此两曲面交线在 $xOy$ 平面投影为圆 $r = a$。立体在 $xOy$ 平面投影为 $D: 0 \le r \le a$。采用柱坐标 $(r, \theta, z)$，$0 \le \theta \le 2\pi$，$0 \le r \le a$，$z$ 从下曲面 $z = r^2/a$ 到上曲面 $z = r$。
公式：柱坐标变换：$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $z = z$, $\mathrm{d}V = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z$
提示：注意下曲面是 $z = r^2/a$ 而不是 $z = r^2$，因为 $a z = x^2+y^2 = r^2$。
步骤 2/4
目标：建立三重积分并计算
体积 $V = \iiint_V \mathrm{d}V = \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^a r\,\mathrm{d}r \int_{r^2/a}^{r} \mathrm{d}z$。先对 $z$ 积分得 $\int_{r^2/a}^{r} \mathrm{d}z = r - \frac{r^2}{a}$。然后 $V = \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^a r\left(r - \frac{r^2}{a}\right) \mathrm{d}r = 2\pi \int_0^a \left(r^2 - \frac{r^3}{a}\right) \mathrm{d}r$。
公式：三重积分化为累次积分
提示：注意 $\theta$ 积分结果为 $2\pi$，不要遗漏。
步骤 3/4
目标：计算定积分
计算 $\int_0^a \left(r^2 - \frac{r^3}{a}\right) \mathrm{d}r = \left[\frac{r^3}{3} - \frac{r^4}{4a}\right]_0^a = \frac{a^3}{3} - \frac{a^3}{4} = \frac{a^3}{12}$。因此 $V = 2\pi \cdot \frac{a^3}{12} = \frac{\pi a^3}{6}$。
公式：幂函数积分公式
提示：计算时注意分母 $a$ 不要漏掉，积分上下限代入要准确。
步骤 4/4
目标：得出最终结果
所求立体的体积为 $V = \frac{1}{6}\pi a^3$。
提示：结果与 $a$ 的三次方成正比，单位正确。
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