下册 8.2 三重积分 第17题
📝 题目
17．求立体的体积．
（1）计算由抛物面 $z=2 x^{2}+y^{2}$ 及抛物面 $z=2-y^{2}$ 所围立体的体积．
（2）求平面 $z=0$ ，圆柱面 $x^{2}+y^{2}=2 x$ ，锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所围成的曲顶柱体的体积．
（3）求曲面 $z=\mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}+2 y-1}$ 与平面 $\displaystyle z=\frac{1}{\mathrm{e}}$ 所围成的立体的体积．（电子科大 2010）
（4）求以曲面 $z=\mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}}$ 为顶，以平面 $z=0$ 为底，以柱面 $x^{2}+y^{2}=1$ 为侧面的曲顶柱体的体积 V．
（5）计算由下列曲面 $z=x y, x+y+z=1, z=0$ 所围立体的体积．
（6）设空间闭区域 $V$ 由曲面 $z=x^{2}+y^{2}, z=2\left(x^{2}+y^{2}\right)$ 及 $x y=a^{2}, x y=2 a^{2}, x=2 y, 2 x=y$ ， $x>0, y>0$ 所围成，试求 $V$ 的体积．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）如图8．169所示，由 $z=2 x^{2}+y^{2}, z=2-y^{2}$ 得 $x^{2}+y^{2}=1$ 。投影区域为 $D: x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ ．记 $D_{1}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}$ ．由对称性得
$$
V=4 \iint_{D_{1}}\left(2-y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y-4 \iint_{D_{1}}\left(2 x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=8 \iint_{D_{1}}\left(1-x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=8 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{1}\left(1-r^{2}\right) r \mathrm{~d} r=\pi
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-214.jpg?height=1500&width=1237&top_left_y=5249&top_left_x=1077}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 8.169}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-214.jpg?height=1293&width=926&top_left_y=5456&top_left_x=3702}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．170}
\end{figure}
（2）如图8．170所示，记 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x, y \geqslant 0\right\}$ ．由对称性知曲顶柱体的体积
$$
V=2 \iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{2 \cos \theta} r^{2} \mathrm{~d} r=\frac{16}{3} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{3} \theta \mathrm{~d} \theta=\frac{16}{3} \cdot \frac{2!!}{3!!}=\frac{32}{9} .
$$
（3）曲面 $z=\mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}+2 y-1}$ 与平面 $\displaystyle z=\frac{1}{\mathrm{e}}$ 的交线为 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+(y-1)^{2}=1, \\ z=\mathrm{e}^{-1} .\end{array}\right.$ 立体在 $x y$ 平面的投影为 $x^{2}+(y-1)^{2} \leqslant 1$ 。令 $x=r \cos \theta, y=1+r \sin \theta, J=r$ ，则
$$
V=\iint_{D}\left(\mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}+2 y-1}-\frac{1}{\mathrm{e}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-r^{2}} r \mathrm{~d} r-\frac{\pi}{\mathrm{e}}=\pi\left(1-\frac{2}{\mathrm{e}}\right)
$$
（4）立体在 $x y$ 平面的投影为 $D=\left\{(x, y): x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 。令 $x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$ ，则所求立体体积
$$
V=\iint_{D} \mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{1} r \mathrm{e}^{-r^{2}} \mathrm{~d} r=\left.2 \pi \cdot\left(-\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-r^{2}}\right)\right|_{0} ^{1}=\pi\left(1-\mathrm{e}^{-1}\right)
$$
（5）设所围立体的体积 $V$ 由两部分组成：
$$
V_{1}: 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant \frac{1-x}{1+x}, z=x y ; V_{2}: 0 \leqslant x \leqslant 1, \frac{1-x}{1+x} \leqslant y \leqslant 1-x, z=1-x-y
$$
记 $D=\{(x, y) \mid x+y \leqslant 1\}$ ，如图8．171所示，于是
$$
V=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\frac{1-x}{1+x}} x y \mathrm{~d} y+\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{\frac{1-x}{1+x}}^{1-x}(1-x-y) \mathrm{d} y=\left(-\frac{11}{4}+4 \ln 2\right)+\left(\frac{25}{6}-6 \ln 2\right)=\frac{17}{12}-2 \ln 2
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-215.jpg?height=1693&width=3579&top_left_y=3039&top_left_x=1215}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 8.171}
\end{figure}
（6）$D$ 由 $x y=a^{2}, x y=2 a^{2}, x=2 y, 2 x=y, x>0, y>0$ 所围成，则
$$
V=\iint_{D} 2\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y-\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
令 $\displaystyle u=x y, v=\frac{y}{x}$ ，即 $\displaystyle x=\sqrt{\frac{u}{v}}, y=\sqrt{u v}$ ，则 $D$ 变为 $\displaystyle a^{2} \leqslant u \leqslant 2 a^{2}, \frac{1}{2} \leqslant v \leqslant 2,|J|=\frac{1}{2 v}$ ．于是
$$
V=\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{a^{2}}^{2 a^{2}} \mathrm{~d} u \int_{\frac{1}{2}}^{2}\left(\frac{u}{v}+u v\right) \frac{1}{2 v} \mathrm{~d} v=\frac{1}{2} \int_{a^{2}}^{2 a^{2}} u \mathrm{~d} u \int_{\frac{1}{2}}^{2}\left(\frac{1}{v^{2}}+1\right) \mathrm{d} v=\frac{9}{4} a^{4}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定投影区域和积分上下限
联立两曲面方程 $z=2x^2+y^2$ 和 $z=2-y^2$，消去 $z$ 得 $2x^2+y^2=2-y^2$，即 $x^2+y^2=1$。因此立体在 $xy$ 平面上的投影区域为圆盘 $D: x^2+y^2 \leq 1$。由于立体关于 $x$ 轴和 $y$ 轴对称，只需计算第一象限部分 $D_1: x^2+y^2 \leq 1, x\geq 0, y\geq 0$ 的体积再乘以4。
提示：注意对称性，避免重复计算。
步骤 2/5
目标：写出体积积分表达式
立体体积为上方曲面 $z=2-y^2$ 减去下方曲面 $z=2x^2+y^2$ 在 $D$ 上的二重积分：$V = \iint_D [(2-y^2) - (2x^2+y^2)] \, dxdy = \iint_D (2-2x^2-2y^2) \, dxdy = 2\iint_D (1-x^2-y^2) \, dxdy$。利用对称性，$V = 8 \iint_{D_1} (1-x^2-y^2) \, dxdy$。
公式：体积 $V = \iint_D (z_{\text{上}} - z_{\text{下}}) \, dxdy$
提示：注意被积函数化简，不要遗漏系数。
步骤 3/5
目标：转换为极坐标计算积分
在极坐标下，$x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$，$dxdy = r\, drd\theta$，区域 $D_1$ 对应 $0\leq r\leq 1, 0\leq \theta\leq \frac{\pi}{2}$。被积函数 $1-x^2-y^2 = 1-r^2$。于是 $V = 8 \int_0^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_0^1 (1-r^2) r \, dr$。
公式：极坐标变换：$x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$，面积元 $dxdy = r\, drd\theta$
提示：极坐标变换时不要忘记雅可比行列式 $r$。
步骤 4/5
目标：计算积分值
先计算内层积分：$\int_0^1 (1-r^2)r \, dr = \int_0^1 (r - r^3) \, dr = \left[\frac{r^2}{2} - \frac{r^4}{4}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$。再计算外层积分：$\int_0^{\frac{\pi}{2}} d\theta = \frac{\pi}{2}$。因此 $V = 8 \times \frac{\pi}{2} \times \frac{1}{4} = \pi$。
提示：积分计算要仔细，注意分数运算。
步骤 5/5
目标：总结结果
所求立体的体积为 $V = \pi$。
提示：最终结果应化简为最简形式。
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