下册 8.2 三重积分 第19题
📝 题目
19．求立体的表面积．
（1）计算由曲面 $x^{2}+y^{2}-a z=0$ 与锥面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=\frac{a^{2}}{b^{2}} z^{2}$ 所围立体的表面积．
（2）求由曲面 $x^{2}+y^{2}=a z$ 与 $z=2 a-\sqrt{x^{2}+y^{2}}(a>0)$ 所围立体的表面积．
（3）求曲面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被柱面 $z^{2}=2 x$ 所截下那部分的面积．
（4）求曲面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被柱面 $x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x$ 所截下那部分的面积．
（5）求圆锥面 $z^{2}=x^{2}+y^{2}$ 在圆柱体 $x^{2}+y^{2} \leqslant x$ 内那部分的面积．
（6）求球面 $z=a x y$ 含在柱面 $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ 内部的面积．
（7）计算曲面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 包含在 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(00)$ 内部的面积．
（9）有一个半径为 $R$ 的球，其球心在一个圆柱上，这个圆柱体的底面半径为 $\displaystyle \frac{R}{2}$ ，求球面被圆柱体所截部分的面积．
（10）设 $a>c>0$ ，求椭球体 $\displaystyle \frac{x^{2}+y^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 的表面积．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）如图8．175所示，两曲面的交线为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=b^{2}, z=\frac{b^{2}}{a}$ ．立体在 $x y$ 平面的投影区域为 $D=\left\{(x, y): x^{2}+y^{2} \leqslant b^{2}\right\}$.
$$
S_{1}: z=\frac{1}{a}\left(x^{2}+y^{2}\right),(x, y) \in D ; S_{2}: z=\frac{b}{a} \sqrt{x^{2}+y^{2}},(x, y) \in D
$$
曲面的面积为
$$
\begin{aligned}
S_{1} & =\iint_{D} \sqrt{1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D} \sqrt{1+\frac{4\left(x^{2}+y^{2}\right)}{a^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\frac{1}{a} \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{b} \sqrt{a^{2}+4 r^{2}} r \mathrm{~d} r \\
& =\frac{2 \pi}{a} \int_{0}^{b} \sqrt{a^{2}+4 r^{2}} r \mathrm{~d} r=\left.\frac{\pi}{6 a}\left(a^{2}+4 r^{2}\right)^{\frac{3}{2}}\right|_{0} ^{b}=\frac{\pi}{6 a}\left[\left(a^{2}+4 b^{2}\right)^{\frac{3}{2}}-a^{3}\right] \\
S_{2} & =\iint_{D} \sqrt{1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D} \frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a} \pi b^{2}
\end{aligned}
$$
于是所求曲面的面积为 $\displaystyle S=S_{1}+S_{2}=\frac{\pi}{6 a}\left[\left(a^{2}+4 b^{2}\right)^{\frac{3}{2}}-a^{3}\right]+\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a} \pi b^{2}$ ．
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-220.jpg?height=1196&width=1134&top_left_y=856&top_left_x=1063}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．175}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-220.jpg?height=1106&width=1203&top_left_y=960&top_left_x=3439}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．176}
\end{figure}
（2）如图8．176 所示，两曲面的交线为 $x^{2}+y^{2}=a^{2}, z=a$ ．立体在 $x y$ 平面的投影区域为 $D=\left\{(x, y): x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}\right\}$ ．
$$
S_{1}: z=2 a-\sqrt{x^{2}+y^{2}},(x, y) \in D ; S_{2}: z=\frac{1}{a}\left(x^{2}+y^{2}\right),(x, y) \in D
$$
曲面的面积
$$
\begin{aligned}
S_{1} & =\iint_{D} \sqrt{1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D} \sqrt{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\sqrt{2} \pi a^{2} \\
S_{2} & =\iint_{D} \sqrt{1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D} \frac{\sqrt{a^{2}+4 x^{2}+4 y^{2}}}{a} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{a} \frac{\sqrt{a^{2}+4 r^{2}}}{a} \cdot r \mathrm{~d} r \\
& =\left.2 \pi \frac{1}{12 a}\left(a^{2}+4 r^{2}\right)^{\frac{3}{2}}\right|_{0} ^{a}=\frac{\pi(5 \sqrt{5}-1) a^{2}}{6}
\end{aligned}
$$
所求曲面的面积为 $\displaystyle S=S_{1}+S_{2}=\sqrt{2} \pi a^{2}+\frac{\pi(5 \sqrt{5}-1) a^{2}}{6}$ ．
（3）如图 8.177 所示，由 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, z^{2}=2 x$ 得 $x^{2}+y^{2}=2 x$ ，立体在 $x y$ 平面的投影区域为 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x\right\}$ ．
$$
S=\iint_{D} \sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D} \sqrt{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\sqrt{2} \pi
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-220.jpg?height=1141&width=1044&top_left_y=6285&top_left_x=1201}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 8.177}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-220.jpg?height=1286&width=1044&top_left_y=6140&top_left_x=3494}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．178}
\end{figure}
（4）如图 8.178 所示，$\displaystyle S=\iint_{D} \sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D} \sqrt{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\sqrt{2} \pi$ ．
（5）如图 8.178 所示，$\displaystyle S=\iint_{D} \sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D} \sqrt{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\frac{\sqrt{2}}{4} \pi$ ．
（6）$\displaystyle A=\frac{1}{a} \iint_{D} \sqrt{1+a^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\frac{1}{a} \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{a} \sqrt{1+a^{2} r^{2}} r \mathrm{~d} r=\frac{2 \pi}{3 a^{3}}\left(\sqrt{\left(1+a^{4}\right)^{3}}-1\right)$ ．
（7）如图8．179所示，记 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \leqslant 1\right.\right\}$ ．上半球面的方程为 $z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}$ ．由对称性，所求面积为
$$
\begin{aligned}
A & =2 \iint_{D} \sqrt{1+z_{x}^{\prime 2}+z_{y}^{\prime 2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=2 \iint_{D} \frac{a}{\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=8 a \int_{0}^{a} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}}} \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}} \mathrm{~d} y \\
& =\left.8 a \int_{0}^{a} \arcsin \frac{y}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\right|_{0} ^{\frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}}} \mathrm{~d} x=8 a^{2} \arcsin \frac{b}{a}
\end{aligned}
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-221.jpg?height=919&width=1223&top_left_y=3543&top_left_x=1160}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．179}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-221.jpg?height=1024&width=1362&top_left_y=3432&top_left_x=3384}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．180}
\end{figure}
（8）如图8．180所示，上半球面的方程为 $z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}$ ，由对称性，所求面积为
$$
\begin{aligned}
A & =2 \iint_{x^{2}+y^{2}c>0$ 时，
$$
\begin{aligned}
S & =4 \pi a \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{c^{2}+\left(a^{2}-c^{2}\right) \cos ^{2} t} \mathrm{~d}(-\cos t)=4 \pi a \int_{0}^{1} \sqrt{c^{2}+\left(a^{2}-c^{2}\right) u^{2}} \mathrm{~d} u \\
& =4 \pi a \sqrt{a^{2}-c^{2}} \int_{0}^{1} \sqrt{\left(\frac{c}{\sqrt{a^{2}-c^{2}}}\right)^{2}+u^{2}} \mathrm{~d} u=2 \pi a\left(a+\frac{c^{2}}{\sqrt{a^{2}-c^{2}}} \ln \frac{a+\sqrt{a^{2}-c^{2}}}{c}\right)
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定立体区域与投影
两曲面方程：$x^2+y^2-az=0$ 即 $z=\frac{1}{a}(x^2+y^2)$，与锥面 $x^2+y^2=\frac{a^2}{b^2}z^2$ 即 $z=\frac{b}{a}\sqrt{x^2+y^2}$。联立解得交线：$x^2+y^2=b^2$，$z=\frac{b^2}{a}$。立体在 $xy$ 平面上的投影区域为 $D=\{(x,y):x^2+y^2\le b^2\}$。
提示：注意锥面取 $z\ge0$ 部分，因为 $z=\frac{b}{a}\sqrt{x^2+y^2}\ge0$。
步骤 2/4
目标：计算曲面 $S_1$ 的面积
曲面 $S_1: z=\frac{1}{a}(x^2+y^2)$，偏导数 $z_x=\frac{2x}{a}$，$z_y=\frac{2y}{a}$，则 $\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}=\sqrt{1+\frac{4(x^2+y^2)}{a^2}}$。面积 $S_1=\iint_D \sqrt{1+\frac{4(x^2+y^2)}{a^2}}\,dxdy$。化为极坐标：$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$dxdy=rdrd\theta$，$D:0\le\theta\le2\pi$，$0\le r\le b$。则 $S_1=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^b \sqrt{1+\frac{4r^2}{a^2}}\,r\,dr=\frac{2\pi}{a}\int_0^b \sqrt{a^2+4r^2}\,r\,dr$。计算积分：令 $u=a^2+4r^2$，$du=8r\,dr$，则 $\int \sqrt{a^2+4r^2}\,r\,dr=\frac{1}{12}(a^2+4r^2)^{3/2}+C$。所以 $S_1=\frac{2\pi}{a}\cdot\frac{1}{12}\left[(a^2+4b^2)^{3/2}-a^3\right]=\frac{\pi}{6a}\left[(a^2+4b^2)^{3/2}-a^3\right]$。
公式：$S=\iint_D\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,dxdy$
提示：极坐标变换时不要忘记 $r$ 因子；积分上下限正确。
步骤 3/4
目标：计算曲面 $S_2$ 的面积
曲面 $S_2: z=\frac{b}{a}\sqrt{x^2+y^2}$，偏导数 $z_x=\frac{b}{a}\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$，$z_y=\frac{b}{a}\cdot\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$，则 $\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$。面积 $S_2=\iint_D \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}\,dxdy=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}\cdot\pi b^2$。
公式：$S=\iint_D\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,dxdy$
提示：锥面的面积元素为常数，直接乘以投影面积。
步骤 4/4
目标：求和得到总表面积
所求立体的表面积为 $S=S_1+S_2=\frac{\pi}{6a}\left[(a^2+4b^2)^{3/2}-a^3\right]+\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}\pi b^2$。
提示：注意立体由两个曲面围成，总面积是两部分之和。
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