下册 8.2 三重积分 第20题

\section*{解题过程：} 设 $\left(a, b, z_{0}\right)$ 为曲面 $z=1+x^{2}+y^{2}$ 上任一点，则 $z_{0}=1+a^{2}+b^{2}$ ．过点 $\left(a, b, z_{0}\right)$ 的切平面方程为 $$ 2 a(x-a)+2 b(y-b)-\left(z-z_{0}\right)=0 \text {, 即 } z=2 a x+2 b y+1-a^{2}-b^{2} \text {. } $$ 由 $z=2 a x+2 b y+1-a^{2}-b^{2}, z=x^{2}+y^{2}$ 得 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=1$ ．则立体在 $x O y$ 面上的投影区域为 $$ D:(x-a)^{2}+(y-b)^{2} \leqslant 1 $$ 因此切平面与曲面 $z=x^{2}+y^{2}$ 围成的立体的体积为 $$ V=\iint_{D}\left(2 a x+2 b y+1-a^{2}-b^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y-\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $$ 作变换 $x=a+r \cos t, y=b+r \sin t$ ，则 $0 \leqslant t \leqslant 2 \pi, 0 \leqslant r \leqslant 1$ ．于是 $$ V=2 a \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} t \int_{0}^{1}(a+r \cos t) r \mathrm{~d} r+2 b \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} t \int_{0}^{1}(b+r \sin t) r \mathrm{~d} r+\pi\left(1-a^{2}-b^{2}\right)- $$ $$ \begin{aligned} & \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} t \int_{0}^{1}\left[(a+r \cos t)^{2}+(b+r \sin t)^{2}\right] r \mathrm{~d} r \\ & =2 \pi a^{2}+2 \pi b^{2}+\pi\left(1-a^{2}-b^{2}\right)-\pi\left(a^{2}+b^{2}\right)-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2} \end{aligned} $$