下册 8.2 三重积分 第21题
📝 题目
21．由曲面 $z=\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}$ 与 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 围成一立体，其体密度为 $\mu=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ，求此立体的质量 $M$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
如图8．182所示，由 $z=\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}, z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 得 $z=1, x^{2}+y^{2}=1$ ．在极坐标变换下，立体可表为
$$
\Omega: 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi, 0 \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi}{4}, 0 \leqslant r \leqslant \sqrt{2}
$$
于是
$$
M=\iiint_{\Omega} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin ^{2} \varphi \mathrm{~d} \varphi \int_{0}^{\sqrt{2}} r^{3} \mathrm{~d} r=\frac{\pi}{4}(\pi-2)
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-223.jpg?height=1134&width=1251&top_left_y=2168&top_left_x=4254}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 8.182}
\end{figure}
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：确定立体区域
由曲面 $z=\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}$ 与 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 围成立体。联立两曲面方程，消去 $z$ 得 $\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$，两边平方得 $2-x^{2}-y^{2}=x^{2}+y^{2}$，即 $x^{2}+y^{2}=1$，代入得 $z=1$。因此两曲面交线为 $x^{2}+y^{2}=1$ 上的圆，$z=1$。立体在 $z$ 方向从 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 到 $z=\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}$，且 $x^{2}+y^{2}\leq 1$。
提示：注意交线处 $z=1$，且 $x^{2}+y^{2}=1$，立体在 $xOy$ 平面投影为圆盘 $x^{2}+y^{2}\leq 1$。
步骤 2/8
目标：选择坐标系与积分顺序
由于被积函数 $\mu=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 和区域具有旋转对称性，采用柱面坐标 $(r,\theta,z)$：$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$, $z=z$，$\mathrm{d}V=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}z$。立体区域：$0\leq\theta\leq 2\pi$，$0\leq r\leq 1$，$r\leq z\leq \sqrt{2-r^{2}}$。
公式：柱面坐标变换：$\mathrm{d}V=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}z$
提示：注意 $z$ 的下限为 $r$，上限为 $\sqrt{2-r^{2}}$，且 $r$ 的范围由交线确定：$r\leq\sqrt{2-r^{2}}$ 得 $r^{2}\leq 1$，即 $0\leq r\leq 1$。
步骤 3/8
目标：写出质量的三重积分表达式
质量 $M=\iiint_{\Omega} \mu \mathrm{d}V = \iiint_{\Omega} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$。在柱面坐标下，$\sqrt{x^{2}+y^{2}}=r$，因此 $M=\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{1}\mathrm{d}r\int_{r}^{\sqrt{2-r^{2}}} r \cdot r \mathrm{d}z = \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{1} r^{2} \left(\sqrt{2-r^{2}}-r\right) \mathrm{d}r$。
公式：$M=\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{1} r^{2} \left(\sqrt{2-r^{2}}-r\right) \mathrm{d}r$
提示：注意被积函数 $r$ 乘以体积元中的 $r$ 得 $r^{2}$，不要漏掉一个 $r$。
步骤 4/8
目标：计算对 $\theta$ 的积分
由于被积函数与 $\theta$ 无关，$\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta = 2\pi$，所以 $M=2\pi \int_{0}^{1} r^{2}\left(\sqrt{2-r^{2}}-r\right) \mathrm{d}r = 2\pi \left( \int_{0}^{1} r^{2}\sqrt{2-r^{2}} \mathrm{d}r - \int_{0}^{1} r^{3} \mathrm{d}r \right)$。
提示：分离积分项，分别计算。
步骤 5/8
目标：计算积分 $\int_{0}^{1} r^{3} \mathrm{d}r$
$\int_{0}^{1} r^{3} \mathrm{d}r = \left[ \frac{r^{4}}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{4}$。
公式：$\int r^{n} \mathrm{d}r = \frac{r^{n+1}}{n+1}$
提示：简单幂函数积分，注意指数加1。
步骤 6/8
目标：计算积分 $\int_{0}^{1} r^{2}\sqrt{2-r^{2}} \mathrm{d}r$
令 $r=\sqrt{2}\sin\varphi$，则 $\mathrm{d}r=\sqrt{2}\cos\varphi\mathrm{d}\varphi$，$\sqrt{2-r^{2}}=\sqrt{2-2\sin^{2}\varphi}=\sqrt{2}\cos\varphi$。当 $r=0$ 时，$\varphi=0$；当 $r=1$ 时，$\sin\varphi=\frac{1}{\sqrt{2}}$，$\varphi=\frac{\pi}{4}$。于是 $\int_{0}^{1} r^{2}\sqrt{2-r^{2}} \mathrm{d}r = \int_{0}^{\pi/4} (2\sin^{2}\varphi) \cdot (\sqrt{2}\cos\varphi) \cdot (\sqrt{2}\cos\varphi \mathrm{d}\varphi) = \int_{0}^{\pi/4} 4\sin^{2}\varphi\cos^{2}\varphi \mathrm{d}\varphi = \int_{0}^{\pi/4} \sin^{2}2\varphi \mathrm{d}\varphi$。
公式：三角换元：$r=\sqrt{2}\sin\varphi$
提示：注意换元后 $\mathrm{d}r$ 的表达式，以及积分限的变化。
步骤 7/8
目标：计算 $\int_{0}^{\pi/4} \sin^{2}2\varphi \mathrm{d}\varphi$
利用倍角公式 $\sin^{2}2\varphi = \frac{1-\cos4\varphi}{2}$，则 $\int_{0}^{\pi/4} \sin^{2}2\varphi \mathrm{d}\varphi = \int_{0}^{\pi/4} \frac{1-\cos4\varphi}{2} \mathrm{d}\varphi = \frac{1}{2} \left[ \varphi - \frac{\sin4\varphi}{4} \right]_{0}^{\pi/4} = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\sin\pi}{4} \right) = \frac{\pi}{8}$。
公式：$\sin^{2}\alpha = \frac{1-\cos2\alpha}{2}$
提示：注意积分限代入时 $\sin\pi=0$。
步骤 8/8
目标：合并结果得到质量
因此 $\int_{0}^{1} r^{2}\sqrt{2-r^{2}} \mathrm{d}r = \frac{\pi}{8}$，$\int_{0}^{1} r^{3} \mathrm{d}r = \frac{1}{4}$。所以 $M = 2\pi \left( \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4} \right) = 2\pi \cdot \frac{\pi-2}{8} = \frac{\pi(\pi-2)}{4}$。
提示：最终结果化简，注意 $\pi$ 的运算。
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