下册 8.2 三重积分 第22题
📝 题目
22．设地球是半径为 $R$ 的圆球，地面上（即地球上空）距地球中心 $r(r \geqslant R)$ 处空气密度 $\displaystyle \rho(r)=\rho_{0} \mathrm{e}^{k\left(1-\frac{r}{R}\right)},\left(\rho_{0}, k\right.$ 为正常数），求地球上空空气质量。中科院 2007）
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
记 $V=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \geqslant R^{2}\right\}$ ．则
$$
\begin{aligned}
M & =\iiint_{V} \rho(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\pi} \mathrm{d} \varphi \int_{R}^{+\infty} \rho_{0} \mathrm{e}^{k\left(1-\frac{r}{R}\right)} r^{2} \sin \varphi \mathrm{~d} r=2 \pi \cdot 2 \rho_{0} \int_{R}^{+\infty} \mathrm{e}^{k\left(1-\frac{r}{R}\right)} r^{2} \mathrm{~d} r \\
& =4 \pi \rho_{0} \mathrm{e}^{k} \int_{R}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\frac{k}{R} r} r^{2} \mathrm{~d} r=4 \pi \rho_{0} \mathrm{e}^{k} \int_{R}^{+\infty}\left(-\frac{R}{k} \mathrm{e}^{-\frac{k}{R} r}\right)^{\prime} r^{2} \mathrm{~d} r=4 \pi \rho_{0} \mathrm{e}^{k}\left(\frac{R}{k} \mathrm{e}^{-k} R^{2}+\int_{R}^{+\infty} \frac{R}{k} \mathrm{e}^{-\frac{k}{R} r} \cdot 2 r \mathrm{~d} r\right) \\
& =4 \pi \rho_{0} \mathrm{e}^{k}\left[\frac{R^{3}}{k} \mathrm{e}^{-k}+\left(\frac{R}{k}\right)^{2} \mathrm{e}^{-k} 2 R+2\left(\frac{R}{k}\right)^{2} \int_{R}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\frac{k}{R} r} \mathrm{~d} r\right]=4 \pi \rho_{0} \mathrm{e}^{k}\left(\frac{R^{3}}{k} \mathrm{e}^{-k}+\frac{2 R^{3}}{k^{2}} \mathrm{e}^{-k}+\frac{2 R^{3}}{k^{3}} \mathrm{e}^{-k}\right) \\
& =4 \pi \rho_{0} R^{3}\left(\frac{1}{k}+\frac{2}{k^{2}}+\frac{2}{k^{3}}\right)
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：建立积分模型
地球上空空气质量 $M$ 等于密度函数 $
ho(r)$ 在空间区域 $V = \{ (x,y,z) \mid x^2+y^2+z^2 \geq R^2 \}$ 上的三重积分：$M = \iiint_V \rho(r) \, dV$。由于密度只依赖于到球心的距离 $r$，采用球坐标 $(r,\theta,\varphi)$ 计算，其中 $r \geq R$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$，$0 \leq \varphi \leq \pi$。体积元 $dV = r^2 \sin\varphi \, dr \, d\theta \, d\varphi$。
公式：$M = \iiint_V \rho(r) \, dV$
提示：注意积分区域是球外空间，$r$ 从 $R$ 到 $+\infty$。
步骤 2/7
目标：代入密度并分离变量
将密度函数 $\rho(r) = \rho_0 e^{k(1 - r/R)}$ 代入，三重积分化为：
$$M = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\pi \sin\varphi \, d\varphi \int_R^{+\infty} \rho_0 e^{k(1 - r/R)} r^2 \, dr.$$
角度部分积分：$\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi$，$\int_0^\pi \sin\varphi \, d\varphi = 2$。因此
$$M = 2\pi \cdot 2 \cdot \rho_0 \int_R^{+\infty} e^{k(1 - r/R)} r^2 \, dr = 4\pi \rho_0 e^k \int_R^{+\infty} e^{-\frac{k}{R} r} r^2 \, dr.$$
公式：$\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi$, $\int_0^\pi \sin\varphi \, d\varphi = 2$
提示：注意 $e^{k(1 - r/R)} = e^k \cdot e^{-kr/R}$，常数 $e^k$ 可提出积分号。
步骤 3/7
目标：分部积分处理 $r^2$ 项
计算积分 $I = \int_R^{+\infty} e^{-\frac{k}{R} r} r^2 \, dr$。令 $u = r^2$，$dv = e^{-\frac{k}{R} r} dr$，则 $du = 2r \, dr$，$v = -\frac{R}{k} e^{-\frac{k}{R} r}$。分部积分公式：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$，得
$$I = \left[ -\frac{R}{k} e^{-\frac{k}{R} r} r^2 \right]_R^{+\infty} + \frac{R}{k} \int_R^{+\infty} e^{-\frac{k}{R} r} \cdot 2r \, dr.$$
当 $r \to +\infty$ 时，$e^{-\frac{k}{R} r} r^2 \to 0$；在 $r=R$ 处，值为 $-\frac{R}{k} e^{-k} R^2$。因此
$$I = \frac{R^3}{k} e^{-k} + \frac{2R}{k} \int_R^{+\infty} e^{-\frac{k}{R} r} r \, dr.$$
公式：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$
提示：注意边界项：上限代入为0，下限代入需加负号。
步骤 4/7
目标：再次分部积分处理 $r$ 项
计算 $J = \int_R^{+\infty} e^{-\frac{k}{R} r} r \, dr$。令 $u = r$，$dv = e^{-\frac{k}{R} r} dr$，则 $du = dr$，$v = -\frac{R}{k} e^{-\frac{k}{R} r}$。分部积分得
$$J = \left[ -\frac{R}{k} e^{-\frac{k}{R} r} r \right]_R^{+\infty} + \frac{R}{k} \int_R^{+\infty} e^{-\frac{k}{R} r} \, dr.$$
边界项：上限为0，下限为 $-\frac{R}{k} e^{-k} R = -\frac{R^2}{k} e^{-k}$，所以
$$J = \frac{R^2}{k} e^{-k} + \frac{R}{k} \int_R^{+\infty} e^{-\frac{k}{R} r} \, dr.$$
公式：同上分部积分公式
提示：注意符号：$[uv]$ 下限代入得 $-(-\frac{R}{k} e^{-k} R) = +\frac{R^2}{k} e^{-k}$。
步骤 5/7
目标：计算指数积分
计算 $K = \int_R^{+\infty} e^{-\frac{k}{R} r} \, dr = \left[ -\frac{R}{k} e^{-\frac{k}{R} r} \right]_R^{+\infty} = \frac{R}{k} e^{-k}$。代入 $J$：
$$J = \frac{R^2}{k} e^{-k} + \frac{R}{k} \cdot \frac{R}{k} e^{-k} = \frac{R^2}{k} e^{-k} + \frac{R^2}{k^2} e^{-k} = R^2 e^{-k} \left( \frac{1}{k} + \frac{1}{k^2} \right).$$
公式：$\int_a^\infty e^{-\alpha r} dr = \frac{e^{-\alpha a}}{\alpha}$
提示：注意 $\alpha = k/R$，积分结果正确。
步骤 6/7
目标：回代得到 $I$
将 $J$ 代入 $I$ 表达式：
$$I = \frac{R^3}{k} e^{-k} + \frac{2R}{k} \cdot J = \frac{R^3}{k} e^{-k} + \frac{2R}{k} \cdot R^2 e^{-k} \left( \frac{1}{k} + \frac{1}{k^2} \right) = \frac{R^3}{k} e^{-k} + \frac{2R^3}{k^2} e^{-k} + \frac{2R^3}{k^3} e^{-k}.$$
因此
$$I = R^3 e^{-k} \left( \frac{1}{k} + \frac{2}{k^2} + \frac{2}{k^3} \right).$$
公式：代数运算
提示：注意合并系数时不要漏项。
步骤 7/7
目标：得到最终质量表达式
将 $I$ 代入 $M = 4\pi \rho_0 e^k \cdot I$，得
$$M = 4\pi \rho_0 e^k \cdot R^3 e^{-k} \left( \frac{1}{k} + \frac{2}{k^2} + \frac{2}{k^3} \right) = 4\pi \rho_0 R^3 \left( \frac{1}{k} + \frac{2}{k^2} + \frac{2}{k^3} \right).$$
提示：注意 $e^k \cdot e^{-k} = 1$，最终结果不含指数。
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