下册 8.2 三重积分 第23题

\section*{解题过程：} 不妨设 $\Sigma$ 的球心在 $(0,0, a)$ ，于是 $\Sigma$ 在球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 内部的曲面方程为 $$ z=a-\sqrt{R^{2}-\left(x^{2}+y^{2}\right)} $$ 将此方程与球面方程 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 联立，解得 $\displaystyle z=\frac{2 a^{2}-R^{2}}{2 a}$ ．这样 $\Sigma$ 在球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 内部的部分在 $O x y$ 平面上的投影为 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \left\lvert\, x^{2}+y^{2} \leqslant R^{2}-\frac{R^{4}}{4 a^{2}}\right.\right\}$ ．从而面积为 $\displaystyle S(R)=\iint_{D} \sqrt{1+z_{x}^{\prime 2}+z_{y}^{\prime 2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D} \frac{R}{\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{R \sqrt{1-\frac{R^{2}}{4 a^{2}}}} \frac{R}{\sqrt{R^{2}-r^{2}}} r \mathrm{~d} r=2 \pi R^{2}\left(1-\frac{R}{2 a}\right)$. 对 $S(R)$ 求导得 $$ S^{\prime}(R)=\frac{\pi}{a}\left(4 a R-3 R^{2}\right) $$ 由 $S^{\prime}(R)=0$ 得 $\displaystyle R=\frac{4}{3} a$ ．由于 $\displaystyle S^{\prime \prime}\left(\frac{4}{3} a\right)=-2 \pi<0$ ，所以当 $\displaystyle R=\frac{4}{3} a$ 时，面积最大，面积最大值为 $\displaystyle S_{\max }=\frac{32}{27} \pi a^{3}$.