下册 8.2 三重积分 第25题
📝 题目
25．证明下列各题．
（1）设连续函数 $f(x)$ 满足 $f(1)=1$ ，记 $F(t)=\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant t^{2}} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，证明：$F^{\prime}(1)=4 \pi$ ．
（2）设 $\varphi(x)$ 在 $[0, \infty)$ 上有连续导数，并且 $\varphi(0)=1$ ，令 $f(r)=\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}0)$ 是严格单调减函数．
（6）设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, \infty)$ 上连续且恒大于零，$\displaystyle F(t)=\frac{\iiint_{\Omega(t)} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} V}{\iint_{D(t)} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma}$ ， $\displaystyle G(t)=\frac{\iint_{D(t)} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma}{\int_{-t}^{t} f\left(x^{2}\right) \mathrm{d} x}$ ，其中 $\Omega(t)=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant t^{2}\right\}, D(t)=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant t^{2}\right\}$ ．讨论 $F(t)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内的单调性，并证明当 $t>0$ 时，$\displaystyle F(t)>\frac{2}{\pi} G(t)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）应用球面坐标变换得
$$
F(t)=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\pi} \mathrm{d} \varphi \int_{0}^{t} f\left(r^{2}\right) r^{2} \sin \varphi \mathrm{~d} r=4 \pi \int_{0}^{t} r^{2} f\left(r^{2}\right) \mathrm{d} r
$$
于是 $F^{\prime}(t)=4 \pi t^{2} f\left(t^{2}\right), F^{\prime}(1)=4 \pi f(1)=4 \pi$ ．
（2）利用球面坐标变换得
$$
f(r)=\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}0$ 。
所以在区间 $(0,+\infty)$ 内 $F(t)$ 单调增加．
（4）由曲面积分计算公式得
$$
\begin{aligned}
\iint_{x^{2}+y^{2}=r^{2}} f(z) \mathrm{d} S & =\iint_{x^{2}+y^{2}0$.
所以 $\varphi(t)$ 是区间 $(0,+\infty)$ 上严格单调增加的连续函数．
（5）由球面极坐标变换得
$$
\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}0$ 时，
$$
F^{\prime}(t)=2 \frac{t^{2} f\left(t^{2}\right) \int_{0}^{1} r^{3} f\left(r^{2}\right) \mathrm{d} r-t^{3} f\left(t^{2}\right) \int_{0}^{1} r^{2} f\left(r^{2}\right) \mathrm{d} r}{\left(\int_{0}^{t} r^{3} f\left(r^{2}\right) \mathrm{d} r\right)^{2}}=2 \frac{t^{2} f\left(t^{2}\right) \int_{0}^{t} r^{2} f\left(r^{2}\right)(r-t) \mathrm{d} r}{\left(\int_{0}^{t} r^{3} f\left(r^{2}\right) \mathrm{d} r\right)^{2}}<0 .
$$
因此 $F(t)(t>0)$ 是严格单调减函数．
（6）当 $t>0$ 时，
从而
$$
\begin{aligned}
F(t) & =\frac{\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\pi} \mathrm{d} \varphi \int_{0}^{t} f\left(r^{2}\right) r^{2} \sin \varphi \mathrm{~d} r}{\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{t} f\left(r^{2}\right) r \mathrm{~d} r}=\frac{2 \int_{0}^{t} f\left(r^{2}\right) r^{2} \mathrm{~d} r}{\int_{0}^{t} f\left(r^{2}\right) r \mathrm{~d} r} . \\
F^{\prime}(t) & =2 \frac{t f\left(t^{2}\right) \int_{0}^{t} f\left(r^{2}\right) r(t-r) \mathrm{d} r}{\left(\int_{0}^{t} f\left(r^{2}\right) r \mathrm{~d} r\right)^{2}}>0
\end{aligned}
$$
所以 $F(t)$ 在 $(0,+\infty)$ 内严格单调增加．
要证明当 $t>0$ 时，$\displaystyle F(t)>\frac{2}{\pi} G(t)$ ，只需证明当 $t>0$ 时， $\int_{0}^{1} f\left(r^{2}\right) r^{2} \mathrm{~d} r \int_{0}^{1} f\left(r^{2}\right) \mathrm{d} r-\left(\int_{0}^{t} f\left(r^{2}\right) r \mathrm{~d} r\right)^{2}>0$ ．
为此，令 $g(t)=\int_{0}^{t} f\left(r^{2}\right) r^{2} \mathrm{~d} r \int_{0}^{t} f\left(r^{2}\right) \mathrm{d} r-\left(\int_{0}^{t} f\left(r^{2}\right) r \mathrm{~d} r\right)^{2}$ ，则
$$
g^{\prime}(t)=f\left(t^{2}\right) \int_{0}^{t} f\left(r^{2}\right)(t-r)^{2} \mathrm{~d} r>0
$$
故 $g(t)$ 在 $(0,+\infty)$ 内严格单调增加．因为 $g(t)$ 在 $t=0$ 处连续，所以当 $t>0$ 时 $g(t)>g(0)=0$ ．
因此，当 $t>0$ 时 $g(t)>0$ ，即当 $t>0$ 时，$\displaystyle F(t)>\frac{2}{\pi} G(t)$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：将三重积分化为球坐标形式
对于三重积分 $\iiint_{x^2+y^2+z^2 \leq t^2} f(x^2+y^2+z^2) \, dxdydz$，使用球坐标变换：$x = r\sin\varphi\cos\theta$, $y = r\sin\varphi\sin\theta$, $z = r\cos\varphi$，其中 $r \in [0,t]$, $\varphi \in [0,\pi]$, $\theta \in [0,2\pi]$，雅可比行列式为 $r^2\sin\varphi$。于是积分化为 $\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\pi \sin\varphi \, d\varphi \int_0^t f(r^2) r^2 \, dr = 4\pi \int_0^t r^2 f(r^2) \, dr$。
公式：$\iiint f(x^2+y^2+z^2) \, dV = 4\pi \int_0^t r^2 f(r^2) \, dr$
提示：注意球坐标变换中 $r$ 的范围是 $0$ 到 $t$，且 $\varphi$ 从 $0$ 到 $\pi$。
步骤 2/2
目标：求导并代入 t=1
由 $F(t) = 4\pi \int_0^t r^2 f(r^2) \, dr$，对 $t$ 求导得 $F'(t) = 4\pi t^2 f(t^2)$。代入 $t=1$，利用 $f(1)=1$，得 $F'(1) = 4\pi \cdot 1^2 \cdot f(1) = 4\pi$。
公式：$F'(t) = 4\pi t^2 f(t^2)$
提示：求导时注意积分上限为 $t$，被积函数为 $r^2 f(r^2)$。
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