下册 8.2 三重积分 第26题
📝 题目
26．求下列导数或极限．
（1）设 $F(t)=\iiint_{V} f(x y z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, f(u)$ 有一阶连续导数，积分区域 $V$ 由 $0 \leqslant x \leqslant t, 0 \leqslant y \leqslant t$ ， $0 \leqslant z \leqslant t$ 所围成．求 $F^{\prime}(t)$ ．
（2）计算 $f(t)=\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq t^{2}}(x y z)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z(t>0)$ 的导数 $f^{\prime}(t)$（只需写出 $f^{\prime}(t)$ 的积分表达式）．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）变量替换 $\displaystyle x=t u, y=t v, z=t w,|J|=\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)}=t^{3},(t>0)$ ，则
$$
0 \leqslant u \leqslant 1,0 \leqslant v \leqslant 1,0 \leqslant w \leqslant 1
$$
于是
$$
\begin{aligned}
F(t) & =\int_{0}^{1} \mathrm{~d} u \int_{0}^{1} \mathrm{~d} v \int_{0}^{1} f\left(t^{3} u v w\right) t^{3} \mathrm{~d} w=t^{3} \int_{0}^{1} \mathrm{~d} u \int_{0}^{1} \mathrm{~d} v \int_{0}^{1} f\left(t^{3} u v w\right) \mathrm{d} w \\
F^{\prime}(t) & =3 t^{2} \int_{0}^{1} \mathrm{~d} u \int_{0}^{1} \mathrm{~d} v \int_{0}^{1} f\left(t^{3} u v w\right) \mathrm{d} w+t^{3} \int_{0}^{1} \mathrm{~d} u \int_{0}^{1} \mathrm{~d} v \int_{0}^{1} 3 t^{2} u v w f^{\prime}\left(t^{3} u v w\right) \mathrm{d} w \\
& =3 t^{2} \int_{0}^{1} \mathrm{~d} u \int_{0}^{1} \mathrm{~d} v \int_{0}^{1} f\left(t^{3} u v w\right) \mathrm{d} w+3 t^{5} \int_{0}^{1} \mathrm{~d} u \int_{0}^{1} \mathrm{~d} v \int_{0}^{1} u v w f^{\prime}\left(t^{3} u v w\right) \mathrm{d} w
\end{aligned}
$$
又变量替换 $\displaystyle x=t u, y=t v, z=t w,|J|=\frac{1}{t^{3}}$ ，则 $\displaystyle F^{\prime}(t)=\frac{3}{t}\left(F(t)+\iiint_{V} x y z f^{\prime}(x y z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z\right)$ ．
（2）由球面极坐标变换
$$
\begin{aligned}
f(t) & =\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：变量替换简化积分区域
令 $x = t u$, $y = t v$, $z = t w$，则雅可比行列式 $|J| = t^3$，积分区域变为 $0 \leq u, v, w \leq 1$。于是 $F(t) = \iiint_{[0,1]^3} f(t^3 u v w) \, t^3 \, du dv dw = t^3 \iiint_{[0,1]^3} f(t^3 u v w) \, du dv dw$。
公式：$|J| = t^3$
提示：注意变量替换后积分限变为常数，便于求导。
步骤 2/5
目标：对参数t求导
对 $F(t) = t^3 \iiint_{[0,1]^3} f(t^3 u v w) \, du dv dw$ 求导，利用乘积法则和链式法则：$F'(t) = 3t^2 \iiint_{[0,1]^3} f(t^3 u v w) \, du dv dw + t^3 \iiint_{[0,1]^3} f'(t^3 u v w) \cdot 3t^2 u v w \, du dv dw$。整理得 $F'(t) = 3t^2 \iiint_{[0,1]^3} f(t^3 u v w) \, du dv dw + 3t^5 \iiint_{[0,1]^3} u v w f'(t^3 u v w) \, du dv dw$。
公式：$\frac{d}{dt} \int_a^b f(t,x) dx = \int_a^b \frac{\partial f}{\partial t} dx$
提示：注意对积分内部函数求导时，$f$ 的复合结构需要链式法则。
步骤 3/5
目标：将结果用原变量表示
做逆变换 $u = x/t$, $v = y/t$, $w = z/t$，则 $du dv dw = \frac{1}{t^3} dx dy dz$。于是 $\iiint_{[0,1]^3} f(t^3 u v w) \, du dv dw = \frac{1}{t^3} \iiint_V f(xyz) \, dx dy dz = \frac{1}{t^3} F(t)$。类似地，$\iiint_{[0,1]^3} u v w f'(t^3 u v w) \, du dv dw = \frac{1}{t^6} \iiint_V xyz f'(xyz) \, dx dy dz$。代入得 $F'(t) = 3t^2 \cdot \frac{1}{t^3} F(t) + 3t^5 \cdot \frac{1}{t^6} \iiint_V xyz f'(xyz) \, dx dy dz = \frac{3}{t} \left( F(t) + \iiint_V xyz f'(xyz) \, dx dy dz \right)$。
公式：$\iiint_{[0,1]^3} g(t^3 u v w) \, du dv dw = \frac{1}{t^3} \iiint_V g(xyz) \, dx dy dz$
提示：逆变换时注意雅可比因子 $1/t^3$ 的幂次。
步骤 4/5
目标：球坐标变换计算三重积分
对于 $f(t) = \iiint_{x^2+y^2+z^2 \leq t^2} (xyz)^2 \, dx dy dz$，采用球坐标：$x = r \sin\varphi \cos\theta$, $y = r \sin\varphi \sin\theta$, $z = r \cos\varphi$，雅可比 $r^2 \sin\varphi$。被积函数 $(xyz)^2 = r^6 \sin^4\varphi \cos^2\varphi \sin^2\theta \cos^2\theta$。积分区域 $0 \leq r \leq t$, $0 \leq \varphi \leq \pi$, $0 \leq \theta \leq 2\pi$。于是 $f(t) = \int_0^{2\pi} \sin^2\theta \cos^2\theta \, d\theta \int_0^\pi \sin^5\varphi \cos^2\varphi \, d\varphi \int_0^t r^8 \, dr$。
公式：$dx dy dz = r^2 \sin\varphi \, dr d\varphi d\theta$
提示：注意球坐标下 $\varphi$ 从0到$\pi$，$\theta$ 从0到$2\pi$。
步骤 5/5
目标：计算各积分并求导
计算径向积分：$\int_0^t r^8 \, dr = \frac{t^9}{9}$。角度积分：$\int_0^{2\pi} \sin^2\theta \cos^2\theta \, d\theta = \frac{\pi}{4}$（利用倍角公式或对称性）；$\int_0^\pi \sin^5\varphi \cos^2\varphi \, d\varphi = B(3, \frac{3}{2}) = \frac{16}{105}$（利用Beta函数）。因此 $f(t) = \frac{t^9}{9} \cdot \frac{\pi}{4} \cdot \frac{16}{105} = \frac{4\pi}{945} t^9$。求导得 $f'(t) = \frac{4\pi}{945} \cdot 9 t^8 = \frac{4\pi}{105} t^8$。
公式：$\int_0^{2\pi} \sin^2\theta \cos^2\theta \, d\theta = \frac{\pi}{4}$, $\int_0^\pi \sin^5\varphi \cos^2\varphi \, d\varphi = \frac{16}{105}$
提示：角度积分可利用对称性或Beta函数简化计算。
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