下册 9.1 第一型曲线积分与第一型曲面积分 第3题
📝 题目
3．计算下列曲线积分．
（1） $\int_{L}\left[(x+1)^{2}+(y-2)^{2}\right] \mathrm{d} s$ ，其中 $L$ 是球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 与平面 $x+y+\dot{z}=1$ 的交线．
（2） $\int_{L} y z \mathrm{ds}$ ，其中 $L$ 是球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 与平面 $x+y+z=1$ 的交线．
（3） $\int_{L}\left(x+y^{2}\right) \mathrm{d} s$ ，其中 $L$ 是球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2^{2}$ 与平面 $x+y+z=1$ 的交线．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
原点 $O$ 到平面 $x+y+z=1$ 的距离是 $\displaystyle d=\frac{1}{\sqrt{3}}$ ．当 $\displaystyle a>\sqrt{\frac{1}{3}}$ 时，球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 与平面 $x+y+z=1$ 的交线 $L$ 是圆心在平面 $x+y+z=1$ ，半径为 $\displaystyle r=\sqrt{a^{2}-d^{2}}=\sqrt{a^{2}-\frac{1}{3}}$ 的圆．
（1）如图 9.4 所示，
$$
\begin{aligned}
\int_{L}\left((x+1)^{2}+(y-2)^{2}\right) \mathrm{d} s & =\oint_{L}\left(x^{2}+y^{2}+2 x-4 y+5\right) \mathrm{d} s \\
& =\frac{2}{3} \oint_{L}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} s-\frac{2}{3} \oint_{L}(x+y+z) \mathrm{d} s+5 \oint_{L} \mathrm{~d} s \\
& =\frac{2}{3} \oint_{L} \mathrm{~d} s-\frac{2}{3} \oint_{L} \mathrm{~d} s+5 \oint_{L} \mathrm{~d} s=5 \oint_{L} \mathrm{~d} s=5 \cdot 2 \pi \sqrt{1-\frac{1}{3}}=\frac{10 \sqrt{6}}{3} \pi .
\end{aligned}
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-233.jpg?height=1168&width=1224&top_left_y=1975&top_left_x=1049}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.4}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-233.jpg?height=1161&width=1383&top_left_y=1975&top_left_x=3370}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.5}
\end{figure}
（2）如图 9.5 所示，
$$
\begin{aligned}
\int_{L} y z \mathrm{~d} s & =\frac{1}{3} \int_{L}(x y+y z+z x) \mathrm{d} s=\frac{1}{6} \int_{L}\left[(x+y+z)^{2}-\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\right] \mathrm{d} s \\
& =\frac{1}{6} \int_{L}\left(1-a^{2}\right) \mathrm{d} s=\frac{1-a^{2}}{6} \int_{L} \mathrm{~d} s=\frac{1-a^{2}}{6} \cdot 2 \pi \sqrt{a^{2}-\frac{1}{3}}=\frac{\pi\left(1-a^{2}\right)}{3} \sqrt{a^{2}-\frac{1}{3}} .
\end{aligned}
$$
（3）如图 9.6 所示，
$$
\oint_{L}\left(x+y^{2}\right) \mathrm{d} s=\frac{1}{3} \oint_{L}\left(x+y+z+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} s=\frac{5}{3} \oint_{L} \mathrm{~d} s=\frac{5}{3} \cdot 2 \pi \sqrt{\frac{11}{3}} .
$$
注：这里 $\oint_{L} \mathrm{~d} s$ 为 $L$ 的长度．
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析曲线L的几何性质
原点O到平面$x+y+z=1$的距离为$d=\frac{1}{\sqrt{3}}$。球面$x^2+y^2+z^2=a^2$与平面$x+y+z=1$的交线L是一个圆，圆心在平面上，半径为$r=\sqrt{a^2-d^2}=\sqrt{a^2-\frac{1}{3}}$。对于(1)，$a=1$，故$r=\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$，周长$|L|=2\pi r=2\pi\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}\pi$。
公式：d = \frac{|0+0+0-1|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}; r = \sqrt{a^2-d^2}
提示：注意球面半径a不同，圆半径也不同。
步骤 2/7
目标：化简被积函数（第一题）
展开被积函数：$(x+1)^2+(y-2)^2 = x^2+2x+1 + y^2-4y+4 = x^2+y^2+2x-4y+5$。由于在L上满足$x^2+y^2+z^2=1$，且$x+y+z=1$，利用对称性，将$x^2+y^2$替换为$1-z^2$，但更巧妙的方法是使用恒等式：$x^2+y^2 = \frac{2}{3}(x^2+y^2+z^2) - \frac{1}{3}(x+y+z)^2 + \frac{1}{3}(x+y+z)^2 - \frac{1}{3}(x^2+y^2+z^2)$？实际上，原解答用了另一种技巧：将$x^2+y^2$写成$\frac{2}{3}(x^2+y^2+z^2) - \frac{2}{3}(x+y+z) + \cdots$？但更直接地，注意到在L上，$x^2+y^2+z^2=1$，$x+y+z=1$，所以$x^2+y^2 = 1-z^2$，但这样仍复杂。原解答利用了对称性：$\oint_L x^2 ds = \oint_L y^2 ds = \oint_L z^2 ds$，且$\oint_L x ds = \oint_L y ds = \oint_L z ds$。因此，$\oint_L (x^2+y^2) ds = \frac{2}{3}\oint_L (x^2+y^2+z^2) ds = \frac{2}{3}\oint_L 1 ds$，$\oint_L (2x-4y) ds = 2\oint_L x ds -4\oint_L y ds = (2-4)\oint_L x ds = -2\oint_L x ds$，但$\oint_L x ds = \frac{1}{3}\oint_L (x+y+z) ds = \frac{1}{3}\oint_L 1 ds$，所以$\oint_L (2x-4y) ds = -2\cdot\frac{1}{3}\oint_L ds = -\frac{2}{3}\oint_L ds$。于是原积分化为$\frac{2}{3}\oint_L ds -\frac{2}{3}\oint_L ds +5\oint_L ds =5\oint_L ds$。
公式：对称性：$\oint_L x^2 ds = \oint_L y^2 ds = \oint_L z^2 ds$，$\oint_L x ds = \oint_L y ds = \oint_L z ds$
提示：注意利用对称性简化计算，但需确保曲线L具有对称性（此处L关于坐标轴轮换对称）。
步骤 3/7
目标：计算第一题积分
由前一步，$\int_L [(x+1)^2+(y-2)^2] ds = 5\oint_L ds = 5 \cdot |L| = 5 \cdot 2\pi \sqrt{1-\frac{1}{3}} = 10\pi \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{10\sqrt{6}}{3}\pi$。
公式：$\oint_L ds = 2\pi r$
提示：注意$r=\sqrt{a^2-1/3}$，此处a=1。
步骤 4/7
目标：化简第二题被积函数
利用对称性，$\oint_L yz ds = \frac{1}{3}\oint_L (xy+yz+zx) ds$。又因为$(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)$，所以$xy+yz+zx = \frac{1}{2}[(x+y+z)^2 - (x^2+y^2+z^2)]$。在L上，$x+y+z=1$，$x^2+y^2+z^2=a^2$，因此$xy+yz+zx = \frac{1}{2}(1-a^2)$。于是$\oint_L yz ds = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}(1-a^2)\oint_L ds = \frac{1-a^2}{6}\oint_L ds$。
公式：$xy+yz+zx = \frac{1}{2}[(x+y+z)^2 - (x^2+y^2+z^2)]$
提示：注意此处a是球面半径，不是常数1。
步骤 5/7
目标：计算第二题积分
由前一步，$\int_L yz ds = \frac{1-a^2}{6} \cdot |L| = \frac{1-a^2}{6} \cdot 2\pi \sqrt{a^2-\frac{1}{3}} = \frac{\pi(1-a^2)}{3}\sqrt{a^2-\frac{1}{3}}$。
公式：$|L| = 2\pi\sqrt{a^2-\frac{1}{3}}$
提示：注意$a^2$可能小于1/3？但题目隐含$a>1/\sqrt{3}$，否则L不存在。
步骤 6/7
目标：化简第三题被积函数
被积函数为$x+y^2$。利用对称性，$\oint_L x ds = \frac{1}{3}\oint_L (x+y+z) ds = \frac{1}{3}\oint_L 1 ds$。对于$y^2$，$\oint_L y^2 ds = \frac{1}{3}\oint_L (x^2+y^2+z^2) ds = \frac{1}{3}\oint_L a^2 ds$，但注意此处球面半径是2，即$a=2$？题目中球面是$x^2+y^2+z^2=2^2$，所以$a=2$。因此$\oint_L y^2 ds = \frac{1}{3}\cdot 4 \oint_L ds = \frac{4}{3}\oint_L ds$。于是$\oint_L (x+y^2) ds = \frac{1}{3}\oint_L ds + \frac{4}{3}\oint_L ds = \frac{5}{3}\oint_L ds$。
公式：对称性：$\oint_L x ds = \frac{1}{3}\oint_L (x+y+z) ds$，$\oint_L y^2 ds = \frac{1}{3}\oint_L (x^2+y^2+z^2) ds$
提示：注意球面半径是2，不是1。
步骤 7/7
目标：计算第三题积分
由前一步，$\int_L (x+y^2) ds = \frac{5}{3}\oint_L ds$。圆半径$r=\sqrt{a^2-\frac{1}{3}} = \sqrt{4-\frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{11}{3}}$，所以$|L| = 2\pi \sqrt{\frac{11}{3}}$。因此积分值为$\frac{5}{3} \cdot 2\pi \sqrt{\frac{11}{3}} = \frac{10\pi}{3}\sqrt{\frac{11}{3}} = \frac{10\sqrt{33}}{9}\pi$。
公式：$|L| = 2\pi\sqrt{a^2-\frac{1}{3}}$
提示：注意化简结果。
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