下册 9.1 第一型曲线积分与第一型曲面积分 第4题
📝 题目
4．设曲线 $\displaystyle \Gamma: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的周长和所围成的面积分别为 $L$ 和 $S$ ，令 $J=\int_{\Gamma}\left(b^{2} x^{2}+2 x y+a^{2} y^{2}\right) \mathrm{d} s$ ，则 $\displaystyle J=\frac{S^{2} L}{\pi^{2}}$ ．
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-233.jpg?height=1209&width=1286&top_left_y=4517&top_left_x=4261}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.6}
\end{figure}
💡 答案解析
解题过程：
$$
J=\int_{\Gamma}\left(b^{2} x^{2}+2 x y+a^{2} y^{2}\right) \mathrm{d} s=\int_{\Gamma}\left(b^{2} x^{2}+a^{2} y^{2}\right) \mathrm{d} s+\int_{\Gamma} 2 x y \mathrm{~d} s=\int_{\Gamma} b^{2} a^{2} \mathrm{~d} s+\int_{\Gamma} 2 x y \mathrm{~d} s .
$$
由对称性知 $\int_{r} 2 x y \mathrm{~d} s=0$ ．于是
$$
J=\int_{\Gamma}\left(b^{2} x^{2}+2 x y+a^{2} y^{2}\right) \mathrm{d} s=\int_{\Gamma} b^{2} a^{2} \mathrm{~d} s+\int_{\Gamma} 2 x y \mathrm{~d} s=a^{2} b^{2} L=\frac{\pi^{2} a^{2} b^{2}}{\pi^{2}} L=\frac{S^{2} L}{\pi^{2}} .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：拆分被积函数
将原积分拆分为两部分：
$$J=\int_{\Gamma}\left(b^{2} x^{2}+2 x y+a^{2} y^{2}\right) \mathrm{d} s = \int_{\Gamma}\left(b^{2} x^{2}+a^{2} y^{2}\right) \mathrm{d} s + \int_{\Gamma} 2 x y \mathrm{~d} s.$$
提示：注意拆分时保持积分号不变，被积函数线性拆分。
步骤 2/5
目标：利用椭圆方程简化第一项
由椭圆方程 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 可得 $b^{2} x^{2}+a^{2} y^{2}=a^{2} b^{2}$。因此第一项化为：
$$\int_{\Gamma}\left(b^{2} x^{2}+a^{2} y^{2}\right) \mathrm{d} s = \int_{\Gamma} a^{2} b^{2} \mathrm{~d} s = a^{2} b^{2} \int_{\Gamma} \mathrm{d} s = a^{2} b^{2} L.$$
公式：$b^{2} x^{2}+a^{2} y^{2}=a^{2} b^{2}$
提示：注意椭圆方程是 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，两边乘以 $a^2 b^2$ 得到 $b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2$。
步骤 3/5
目标：利用对称性处理第二项
考虑第二项 $\int_{\Gamma} 2xy \, ds$。由于椭圆关于 $x$ 轴和 $y$ 轴对称，且被积函数 $xy$ 是奇函数（关于 $x$ 和 $y$ 都是奇函数），因此积分值为零：
$$\int_{\Gamma} 2xy \, ds = 0.$$
提示：对称性：椭圆关于 $x$ 轴和 $y$ 轴对称，$xy$ 在四个象限符号相反，积分抵消。注意弧长微元 $ds$ 在对称变换下不变。
步骤 4/5
目标：合并结果
将两部分结果相加：
$$J = a^{2} b^{2} L + 0 = a^{2} b^{2} L.$$
提示：注意不要遗漏常数因子。
步骤 5/5
目标：用面积和周长表示
椭圆面积 $S = \pi a b$，所以 $a^{2} b^{2} = \frac{S^{2}}{\pi^{2}}$。代入得：
$$J = \frac{S^{2}}{\pi^{2}} L = \frac{S^{2} L}{\pi^{2}}.$$
公式：$S = \pi a b$
提示：注意面积公式 $S = \pi a b$，不要与周长 $L$ 混淆。
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