下册 9.1 第一型曲线积分与第一型曲面积分 第5题
📝 题目
5．计算下列曲线积分．
（1） $\int_{L} \sqrt{2 y^{2}+z^{2}} \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为曲面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=9$ 与 $x=y$ 的交线．（浙江理 $I$ 2007）
（2） $\int_{L}|y| \mathrm{ds}$ ，其中 $L$ 是球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2$ 和平面 $x=y$ 的交线．
💡 答案解析
解题过程：
（1）如图 9.7 所示，
方法 1：曲面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=9$ 与 $x=y$ 的交线 $L$ 为椭圆，其参数方程为
于是
$$
\begin{gathered}
x=y=\frac{3}{\sqrt{2}} \sin t, z=3 \cos t,(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi) \\
\int_{L} \sqrt{2 y^{2}+z^{2}} \mathrm{~d} s=\int_{0}^{2 \pi} 3 \sqrt{3^{2} \sin ^{2} t+3^{2} \cos ^{2} t} \mathrm{~d} t=18 \pi
\end{gathered}
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-234.jpg?height=1175&width=1251&top_left_y=801&top_left_x=4268}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.7}
\end{figure}
方法 2：平面 $x=y$ 过原点，球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=9$ 的中心为原点，它们的交线 $L$ 是该球面上的极大圆．
$$
\int_{L} \sqrt{2 y^{2}+z^{2}} \mathrm{~d} s=\int_{L} \sqrt{9} \mathrm{~d} s=3 \int_{L} \mathrm{~d} s=3 \cdot 2 \pi \cdot 3=18 \pi .
$$
（2）球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2$ 和平面 $x=y$ 的交线为椭圆，其参数方程为
$$
x=y=\cos \theta, z=\sqrt{2} \sin \theta, \quad(0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi) .
$$
由对称性得
$$
\int_{L}|y| \mathrm{d} s=4 \int_{\substack{y=x>0, z>0 \\ 2 x^{2}+z^{2}=2}} y \mathrm{~d} s=4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos \theta \sqrt{(\cos \theta)^{\prime 2}+(\cos \theta)^{\prime 2}+(\sqrt{2} \sin \theta)^{\prime 2}} \mathrm{~d} \theta=4 \frac{\pi}{2} \sqrt{2}=2 \sqrt{2} \pi
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：确定曲线L的几何特征
曲线L是球面$x^2+y^2+z^2=9$与平面$x=y$的交线。由于平面过球心，交线是一个半径为3的圆（大圆）。
提示：注意平面过球心时交线是大圆，半径为球半径。
步骤 2/8
目标：简化被积函数
在曲线L上，由于$x=y$，代入球面方程得$2x^2+z^2=9$。被积函数$\sqrt{2y^2+z^2}=\sqrt{2x^2+z^2}=\sqrt{9}=3$。
公式：$\sqrt{2y^2+z^2}=3$
提示：利用曲线方程化简被积函数，注意变量替换。
步骤 3/8
目标：计算曲线积分
原积分$\int_L \sqrt{2y^2+z^2} ds = \int_L 3 ds = 3 \cdot \text{曲线长度}$。曲线L是半径为3的圆，周长为$2\pi\cdot3=6\pi$，所以积分值为$3\cdot6\pi=18\pi$。
公式：$\int_L ds = \text{曲线长度}$
提示：大圆周长公式$2\pi R$，R=3。
步骤 4/8
目标：第二题：确定曲线L的几何特征
曲线L是球面$x^2+y^2+z^2=2$与平面$x=y$的交线。平面过球心，交线是一个半径为$\sqrt{2}$的圆（大圆）。
提示：球半径$R=\sqrt{2}$，大圆半径相同。
步骤 5/8
目标：建立参数方程
由$x=y$，代入球面得$2x^2+z^2=2$。令$x=\cos\theta$，则$z=\sqrt{2}\sin\theta$，参数方程：$x=y=\cos\theta, z=\sqrt{2}\sin\theta$，$\theta\in[0,2\pi)$。
公式：$x=\cos\theta, z=\sqrt{2}\sin\theta$
提示：注意参数范围覆盖整个椭圆。
步骤 6/8
目标：利用对称性简化积分
被积函数$|y|$关于坐标平面对称，曲线关于$x$轴和$y$轴对称。只需计算第一卦限部分（$y>0$）并乘以4。第一卦限对应$\theta\in[0,\pi/2]$。
公式：$\int_L |y| ds = 4\int_{L_1} y ds$
提示：对称性应用时注意曲线分段和符号。
步骤 7/8
目标：计算弧长微元
参数方程求导：$x'=-\sin\theta, y'=-\sin\theta, z'=\sqrt{2}\cos\theta$。弧长微元$ds=\sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}d\theta=\sqrt{2\sin^2\theta+2\cos^2\theta}d\theta=\sqrt{2}d\theta$。
公式：$ds = \sqrt{2} d\theta$
提示：注意$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$。
步骤 8/8
目标：计算积分
在第一卦限，$y=\cos\theta$，$\theta\in[0,\pi/2]$。积分$\int_{L_1} y ds = \int_0^{\pi/2} \cos\theta \cdot \sqrt{2} d\theta = \sqrt{2} \sin\theta\big|_0^{\pi/2} = \sqrt{2}$。所以原积分$=4\times\sqrt{2}=4\sqrt{2}$。
公式：$\int_0^{\pi/2} \cos\theta d\theta = 1$
提示：注意最终结果应为$4\sqrt{2}$，但原答案给出$2\sqrt{2}\pi$，此处以正确计算为准。
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