下册 9.1 第一型曲线积分与第一型曲面积分 第6题
📝 题目
6．计算曲线积分 $\int_{C}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} s$ ．其中 $C$ 为 $(0,0),(2,0),(0,1)$ 为顶点的三角形．
💡 答案解析
解题分析：考察第一型曲线积分的方法．
\section*{解题过程：}
$C$ 分为三段 $C_{1}, C_{2}, C_{3}$ ，如图 9.8 所示，其中
$C_{1}$ 的方程为 $y=0(0 \leqslant x \leqslant 2)$ ，
$C_{2}$ 的方程为 $x=0(0 \leqslant y \leqslant 1)$ ，
$C_{3}$ 的方程为 $\displaystyle y=1-\frac{x}{2}(0 \leqslant x \leqslant 2)$ ．
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-234.jpg?height=927&width=1445&top_left_y=4641&top_left_x=4047}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.8}
\end{figure}
$$
\begin{aligned}
\int_{C}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} s & =\int_{C_{1}} x^{2} \mathrm{~d} s+\int_{C_{2}} y^{2} \mathrm{~d} s+\int_{C_{3}}\left[x^{2}+\left(1-\frac{x}{2}\right)^{2}\right] \mathrm{d} s \\
& =\int_{0}^{2} x^{2} \mathrm{~d} x+\int_{0}^{1} y^{2} \mathrm{~d} y+\int_{0}^{2}\left(\frac{5}{4} x^{2}-x+1\right) \sqrt{1+\frac{1}{4}} \mathrm{~d} x=3+\frac{5 \sqrt{5}}{3}
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分段曲线
将三角形边界 $C$ 分为三段：$C_1$ 从 $(0,0)$ 到 $(2,0)$，$C_2$ 从 $(0,0)$ 到 $(0,1)$，$C_3$ 从 $(2,0)$ 到 $(0,1)$。分别写出各段参数方程：
$C_1: y=0,\ 0\le x\le 2$；
$C_2: x=0,\ 0\le y\le 1$；
$C_3: y=1-\frac{x}{2},\ 0\le x\le 2$。
提示：注意三角形顶点顺序，确保分段覆盖整个边界且无重叠。
步骤 2/6
目标：计算第一段积分
在 $C_1$ 上，$y=0$，$\mathrm{d}s=\mathrm{d}x$，被积函数 $x^2+y^2=x^2$。
$$\int_{C_1}(x^2+y^2)\mathrm{d}s=\int_0^2 x^2\mathrm{d}x=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2=\frac{8}{3}.$$
公式：第一型曲线积分公式：$\int_C f(x,y)\mathrm{d}s=\int_a^b f(x(t),y(t))\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\mathrm{d}t$
提示：当曲线为直线段且平行于坐标轴时，弧长微元简化为 $\mathrm{d}x$ 或 $\mathrm{d}y$。
步骤 3/6
目标：计算第二段积分
在 $C_2$ 上，$x=0$，$\mathrm{d}s=\mathrm{d}y$，被积函数 $x^2+y^2=y^2$。
$$\int_{C_2}(x^2+y^2)\mathrm{d}s=\int_0^1 y^2\mathrm{d}y=\left[\frac{y^3}{3}\right]_0^1=\frac{1}{3}.$$
提示：注意积分变量为 $y$，积分限从0到1。
步骤 4/6
目标：计算第三段积分
在 $C_3$ 上，$y=1-\frac{x}{2}$，$\mathrm{d}s=\sqrt{1+(y')^2}\mathrm{d}x=\sqrt{1+\left(-\frac{1}{2}\right)^2}\mathrm{d}x=\frac{\sqrt{5}}{2}\mathrm{d}x$。被积函数 $x^2+y^2=x^2+\left(1-\frac{x}{2}\right)^2=x^2+1-x+\frac{x^2}{4}=\frac{5}{4}x^2-x+1$。
$$\int_{C_3}(x^2+y^2)\mathrm{d}s=\int_0^2\left(\frac{5}{4}x^2-x+1\right)\cdot\frac{\sqrt{5}}{2}\mathrm{d}x=\frac{\sqrt{5}}{2}\int_0^2\left(\frac{5}{4}x^2-x+1\right)\mathrm{d}x.$$
公式：弧长微元：$\mathrm{d}s=\sqrt{1+(y')^2}\mathrm{d}x$
提示：正确计算导数 $y'=-\frac{1}{2}$，并注意 $\mathrm{d}s$ 的表达式。
步骤 5/6
目标：计算第三段定积分
计算积分：
$$\int_0^2\left(\frac{5}{4}x^2-x+1\right)\mathrm{d}x=\left[\frac{5}{12}x^3-\frac{1}{2}x^2+x\right]_0^2=\frac{5}{12}\cdot8-\frac{1}{2}\cdot4+2=\frac{10}{3}-2+2=\frac{10}{3}.$$
乘以 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ 得：
$$\int_{C_3}(x^2+y^2)\mathrm{d}s=\frac{\sqrt{5}}{2}\cdot\frac{10}{3}=\frac{5\sqrt{5}}{3}.$$
提示：注意积分运算的准确性，特别是分数乘法。
步骤 6/6
目标：求和得到最终结果
将三段积分相加：
$$\int_C(x^2+y^2)\mathrm{d}s=\frac{8}{3}+\frac{1}{3}+\frac{5\sqrt{5}}{3}=3+\frac{5\sqrt{5}}{3}.$$
提示：注意分数加法，$\frac{8}{3}+\frac{1}{3}=3$。
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