下册 9.1 第一型曲线积分与第一型曲面积分 第7题
📝 题目
7．证明： $\displaystyle 5 \mathrm{e}^{-\frac{9}{2}} \leqslant \int_{C} \mathrm{e}^{-\sqrt{x^{3} y}} \mathrm{~d} s \leqslant 5$ ，其中 $C$ 为直线 $3 x+4 y-12=0$ 介于两坐标轴之间的线段．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
如图 9.9 所示，$C$ 的方程为 $\displaystyle y=-\frac{3}{4} x+3=-\frac{3}{4}(x-4)$ ．
$\displaystyle \mathrm{d} s=\sqrt{1+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{5}{4} \mathrm{~d} x$ 。于是
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-234.jpg?height=926&width=1168&top_left_y=7259&top_left_x=4379}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.9}
\end{figure}
$$
\int_{C} \mathrm{e}^{-\sqrt{x^{3} y}} \mathrm{~d} s=\int_{0}^{4} \mathrm{e}^{-x \sqrt{x\left(-\frac{3}{4} x+3\right)}} \frac{5}{4} \mathrm{~d} x=\frac{5}{4} \int_{0}^{4} \mathrm{e}^{-\frac{\sqrt{3} x}{2} \sqrt{x(4-x)}} \mathrm{d} x
$$
记 $g(x)=x^{3}(4-x)$ ，则 $g(x)$ 在 $[0,4]$ 的最大值 $g(3)=3^{3}$ ，最小值 $g(0)=0$ ．于是
所以
$$
\begin{aligned}
& \mathrm{e}^{\frac{9}{2}} \leqslant \mathrm{e}^{-\frac{\sqrt{3} x}{2} \sqrt{x(4-x)}} \leqslant 1 \\
& 5 \mathrm{e}^{-\frac{9}{2}} \leqslant \int_{C} \mathrm{e}^{-\sqrt{x^{3} y}} \mathrm{~d} s \leqslant 5
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出曲线C的参数方程和弧微分
直线 $3x+4y-12=0$ 可化为 $y = -\frac{3}{4}x + 3$，其中 $x \in [0,4]$。弧微分 $\mathrm{d}s = \sqrt{1 + (y')^2} \mathrm{d}x = \sqrt{1 + \left(-\frac{3}{4}\right)^2} \mathrm{d}x = \frac{5}{4} \mathrm{d}x$。
公式：$\mathrm{d}s = \sqrt{1+(y')^2}\mathrm{d}x$
提示：注意直线方程要正确化为显函数形式，并确定x的取值范围。
步骤 2/6
目标：将曲线积分化为定积分
将 $y = -\frac{3}{4}x + 3$ 和 $\mathrm{d}s = \frac{5}{4}\mathrm{d}x$ 代入积分：
$$
\int_C e^{-\sqrt{x^3 y}} \mathrm{d}s = \int_0^4 e^{-\sqrt{x^3\left(-\frac{3}{4}x+3\right)}} \cdot \frac{5}{4} \mathrm{d}x = \frac{5}{4} \int_0^4 e^{-\frac{\sqrt{3}}{2} x \sqrt{x(4-x)}} \mathrm{d}x.
$$
注意化简：$x^3\left(-\frac{3}{4}x+3\right) = \frac{3}{4}x^3(4-x)$，开方得 $\frac{\sqrt{3}}{2} x \sqrt{x(4-x)}$。
公式：$\int_C f(x,y) \mathrm{d}s = \int_a^b f(x,y(x)) \sqrt{1+(y')^2} \mathrm{d}x$
提示：化简根号内表达式时注意提取公因子，并确保符号正确。
步骤 3/6
目标：分析被积函数中指数部分的范围
令 $g(x) = x^3(4-x)$，$x \in [0,4]$。求导得 $g'(x) = 3x^2(4-x) - x^3 = x^2(12-4x) = 4x^2(3-x)$。令 $g'(x)=0$ 得驻点 $x=0$ 和 $x=3$。比较端点值：$g(0)=0$，$g(4)=0$，$g(3)=27$。故 $g(x)$ 在 $[0,4]$ 上的最大值为 $27$，最小值为 $0$。因此 $\sqrt{x^3 y} = \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{g(x)} \in \left[0, \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{27}\right] = \left[0, \frac{9}{2}\right]$。
公式：$g(x)=x^3(4-x)$，$g'(x)=4x^2(3-x)$
提示：注意求导时不要遗漏因子，并正确计算最大值。
步骤 4/6
目标：得到被积函数的上下界
由于指数函数 $e^{-t}$ 在 $t \geq 0$ 时单调递减，且 $t = \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{g(x)} \in [0, \frac{9}{2}]$，所以 $e^{-t} \in [e^{-9/2}, 1]$。即
$$
e^{-\frac{9}{2}} \leq e^{-\frac{\sqrt{3}}{2} x \sqrt{x(4-x)}} \leq 1.
$$
公式：$e^{-t}$ 单调递减
提示：注意指数函数单调性，当指数范围包含0时，最大值是1。
步骤 5/6
目标：对积分进行放缩
将不等式乘以 $\frac{5}{4}$ 并在 $[0,4]$ 上积分：
$$
\frac{5}{4} \int_0^4 e^{-\frac{9}{2}} \mathrm{d}x \leq \frac{5}{4} \int_0^4 e^{-\frac{\sqrt{3}}{2} x \sqrt{x(4-x)}} \mathrm{d}x \leq \frac{5}{4} \int_0^4 1 \mathrm{d}x.
$$
计算积分：$\frac{5}{4} \int_0^4 e^{-9/2} \mathrm{d}x = \frac{5}{4} \cdot 4 \cdot e^{-9/2} = 5e^{-9/2}$，$\frac{5}{4} \int_0^4 1 \mathrm{d}x = \frac{5}{4} \cdot 4 = 5$。因此
$$
5e^{-\frac{9}{2}} \leq \int_C e^{-\sqrt{x^3 y}} \mathrm{d}s \leq 5.
$$
公式：积分不等式：若 $m \leq f(x) \leq M$，则 $m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \mathrm{d}x \leq M(b-a)$
提示：注意积分区间长度为4，不要算错。
步骤 6/6
目标：总结结论
原不等式得证。
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