下册 9.1 第一型曲线积分与第一型曲面积分 第16题
📝 题目
16．求第一型曲面积分 $\iint_{S}|x y z| \mathrm{d} S$ ，其中 $S$ 为旋转抛物面 $z=x^{2}+y^{2}$ 介于 $z=0$ 和 $z=1$ 之间的部分．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
如图 9.28 所示，由对称性知，曲面积分 $\iint_{S}|x y z| \mathrm{d} S$ 为 $S$ 在第一卦限部分曲面 $S_{1}$ 的积分的 4 倍。
$S_{1}$ 在 $x y$ 平面的投影为 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}$ ．由曲面积分公式得
$$
\begin{aligned}
\iint_{S}|x y z| \mathrm{d} S & =4 \iint_{D} x y\left(x^{2}+y^{2}\right) \sqrt{1+4 x^{2}+4 y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
& =4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{1} r^{5} \cos \theta \sin \theta \sqrt{1+4 r^{2}} \mathrm{~d} r \\
& =2 \int_{0}^{1} r^{5} \sqrt{1+4 r^{2}} \mathrm{~d} r=\int_{0}^{1} t^{2} \sqrt{1+4 t} \mathrm{~d} t \\
& =\int_{1}^{\sqrt{5}} u\left(\frac{u^{2}-1}{4}\right)^{2} \times \frac{u}{2} \mathrm{~d} u \\
& =\left.\frac{1}{32}\left(\frac{1}{7} u^{7}-\frac{2}{5} u^{5}+\frac{1}{3} u^{3}\right)\right|_{1} ^{\sqrt{5}}=\frac{125 \sqrt{5}-1}{420}
\end{aligned}
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-244.jpg?height=1334&width=933&top_left_y=5069&top_left_x=4593}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.28}
\end{figure}
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用对称性简化积分
由于被积函数 $|xyz|$ 关于坐标平面对称，且曲面 $S$ 关于 $x=0$、$y=0$ 对称，因此积分值等于第一卦限部分曲面 $S_1$ 上积分的 4 倍。$S_1$ 为 $z=x^2+y^2$ 在 $x\ge0, y\ge0, 0\le z\le1$ 的部分。
公式：∬_S |xyz| dS = 4 ∬_{S_1} xyz dS
提示：注意被积函数带绝对值，对称性应用时需确保各卦限符号一致，此处 $x,y,z$ 在第一卦限非负，故绝对值可去掉。
步骤 2/7
目标：将曲面积分投影到 $xy$ 平面
曲面 $S_1$ 的方程为 $z=x^2+y^2$，在 $xy$ 平面上的投影区域 $D$ 为 $x^2+y^2\le 1$，$x\ge0, y\ge0$。曲面积分公式：$\iint_{S_1} f(x,y,z) dS = \iint_D f(x,y,z(x,y)) \sqrt{1+z_x^2+z_y^2} dxdy$。计算 $z_x=2x$, $z_y=2y$，则 $\sqrt{1+z_x^2+z_y^2} = \sqrt{1+4x^2+4y^2}$。被积函数 $xyz = xy(x^2+y^2)$。因此 $\iint_{S_1} xyz dS = \iint_D xy(x^2+y^2) \sqrt{1+4x^2+4y^2} dxdy$。
公式：dS = √(1+z_x^2+z_y^2) dxdy
提示：投影区域 $D$ 的边界由 $z=0$ 和 $z=1$ 决定，即 $x^2+y^2=0$ 和 $x^2+y^2=1$，注意 $x,y\ge0$。
步骤 3/7
目标：转换为极坐标积分
令 $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$，则 $dxdy = r dr d\theta$，$x^2+y^2=r^2$，$xy = r^2\cos\theta\sin\theta$，$\sqrt{1+4x^2+4y^2}=\sqrt{1+4r^2}$。积分区域 $D$ 对应 $0\le r\le 1$, $0\le\theta\le\frac{\pi}{2}$。于是 $\iint_D xy(x^2+y^2)\sqrt{1+4x^2+4y^2} dxdy = \int_0^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_0^1 r^2\cos\theta\sin\theta \cdot r^2 \cdot \sqrt{1+4r^2} \cdot r dr = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta\sin\theta d\theta \int_0^1 r^5 \sqrt{1+4r^2} dr$。
公式：x=rcosθ, y=rsinθ, dxdy=rdrdθ
提示：极坐标变换时，$r$ 的幂次容易算错，注意 $xy$ 贡献 $r^2$，$x^2+y^2$ 贡献 $r^2$，$dxdy$ 贡献 $r$，总共 $r^5$。
步骤 4/7
目标：计算角度积分和变量替换
角度积分：$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta\sin\theta d\theta = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2\theta d\theta = \frac{1}{2} \left[-\frac{1}{2}\cos 2\theta\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2}$。因此原积分 $4 \times \frac{1}{2} \int_0^1 r^5 \sqrt{1+4r^2} dr = 2 \int_0^1 r^5 \sqrt{1+4r^2} dr$。令 $t=r^2$，则 $dt=2rdr$，$r^5 dr = r^4 \cdot r dr = t^2 \cdot \frac{1}{2} dt$，积分变为 $2 \int_0^1 t^2 \sqrt{1+4t} \cdot \frac{1}{2} dt = \int_0^1 t^2 \sqrt{1+4t} dt$。
公式：∫_0^{π/2} cosθ sinθ dθ = 1/2
提示：变量替换 $t=r^2$ 时，注意 $r^5 dr$ 的变换要准确，$r^5 = r^4 \cdot r = t^2 \cdot r$，而 $rdr = dt/2$，所以 $r^5 dr = t^2 \cdot dt/2$。
步骤 5/7
目标：换元积分：令 $u=\sqrt{1+4t}$
令 $u=\sqrt{1+4t}$，则 $t=\frac{u^2-1}{4}$，$dt=\frac{u}{2} du$。当 $t=0$ 时 $u=1$，当 $t=1$ 时 $u=\sqrt{5}$。积分变为 $\int_1^{\sqrt{5}} \left(\frac{u^2-1}{4}\right)^2 \cdot u \cdot \frac{u}{2} du = \int_1^{\sqrt{5}} \frac{(u^2-1)^2}{16} \cdot \frac{u^2}{2} du = \frac{1}{32} \int_1^{\sqrt{5}} (u^4-2u^2+1) u^2 du = \frac{1}{32} \int_1^{\sqrt{5}} (u^6-2u^4+u^2) du$。
公式：u = √(1+4t), t = (u^2-1)/4, dt = (u/2) du
提示：换元后注意积分限的变化，以及被积函数中 $t^2$ 和 $\sqrt{1+4t}$ 的替换，不要遗漏因子。
步骤 6/7
目标：计算定积分
计算 $\int_1^{\sqrt{5}} (u^6-2u^4+u^2) du = \left[\frac{1}{7}u^7 - \frac{2}{5}u^5 + \frac{1}{3}u^3\right]_1^{\sqrt{5}}$。代入上下限：上限 $u=\sqrt{5}$ 时，$u^7 = 5^{7/2} = 125\sqrt{5}$，$u^5 = 5^{5/2} = 25\sqrt{5}$，$u^3 = 5^{3/2} = 5\sqrt{5}$；下限 $u=1$ 时，$u^7=1, u^5=1, u^3=1$。因此差值为 $\frac{1}{7}(125\sqrt{5}-1) - \frac{2}{5}(25\sqrt{5}-1) + \frac{1}{3}(5\sqrt{5}-1)$。通分分母 $105$：$\frac{15(125\sqrt{5}-1) - 42(25\sqrt{5}-1) + 35(5\sqrt{5}-1)}{105} = \frac{(1875\sqrt{5}-15) - (1050\sqrt{5}-42) + (175\sqrt{5}-35)}{105} = \frac{(1875-1050+175)\sqrt{5} + (-15+42-35)}{105} = \frac{1000\sqrt{5} -8}{105}$。乘以 $\frac{1}{32}$ 得 $\frac{1000\sqrt{5}-8}{32\times 105} = \frac{125\sqrt{5}-1}{4\times 105} = \frac{125\sqrt{5}-1}{420}$。
公式：∫ u^n du = u^{n+1}/(n+1)
提示：计算过程中注意分数通分和化简，避免算术错误。
步骤 7/7
目标：得出最终结果
因此原曲面积分 $\iint_S |xyz| dS = \frac{125\sqrt{5}-1}{420}$。
提示：最终结果应化简为最简分数形式。
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