下册 9.1 第一型曲线积分与第一型曲面积分 第17题
📝 题目
17．求下列第一型曲面积分．
（1） $\iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) z \mathrm{~d} S$ ，其中 $S$ 为上半球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}(z \geqslant 0)$ 含在柱面 $x^{2}+y^{2}=R x$ 内部的部分．
（2） $\iint_{S} x y z\left(y^{2} x^{2}+x^{2} z^{2}+y^{2} z^{2}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $S$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0$ 。重庆大学 2010）
💡 答案解析
解题过程：
（1）如图 9.29 所示，曲面 $S: z=\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}, ~ S$ 在 $x y$ 平面上的投影区域为 $D_{x y}$ ：
$\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant R x \cdot \sqrt{1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}=\frac{R}{\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}}$ ．于是
$$
\begin{aligned}
\iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) z \mathrm{~d} S & =R \iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=R \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{R \cos \theta} r^{3} \mathrm{~d} r \\
& =\frac{1}{4} R \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} R^{4} \cos ^{4} \theta \mathrm{~d} \theta=\frac{1}{2} R^{5} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{4} \theta \mathrm{~d} \theta=\frac{3}{32} \pi R^{5} .
\end{aligned}
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-245.jpg?height=1230&width=1369&top_left_y=2224&top_left_x=1139}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.29}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-245.jpg?height=1168&width=1092&top_left_y=2279&top_left_x=3446}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图9．30}
\end{figure}
（2）如图 9.30 所示，曲面 $\displaystyle S: z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}, \sqrt{1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}=\frac{a}{\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}} . S$ 在 $x y$ 平面上的投影区域为 $D_{x y}: x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}, x \geqslant 0, y \geqslant 0$ ．于是
$$
\begin{aligned}
& \iint_{S} x y z\left(y^{2} x^{2}+x^{2} z^{2}+y^{2} z^{2}\right) \mathrm{d} S \\
& =\iint_{D} x y \sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}\left[y^{2} x^{2}+\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(a^{2}-x^{2}-y^{2}\right)\right] \frac{a}{\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
& =a \iint_{D} x y\left[y^{2} x^{2}+\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(a^{2}-x^{2}-y^{2}\right)\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
& =a \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{a} r^{3} \cos \theta \sin \theta\left[r^{4} \cos ^{2} \theta \sin ^{2} \theta+r^{2}\left(a^{2}-r^{2}\right)\right] \mathrm{d} r \\
& =a \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{a} r^{7} \cos ^{3} \theta \sin ^{3} \theta \mathrm{~d} r+a \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{a} r^{5} \cos \theta \sin \theta\left(a^{2}-r^{2}\right) \mathrm{d} r \\
& =\frac{1}{8} a^{9} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{3} \theta \sin ^{3} \theta \mathrm{~d} \theta+a \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos \theta \sin \theta \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{a} r^{5}\left(a^{2}-r^{2}\right) \mathrm{d} r \\
& =\frac{1}{16} a^{9} B(2,2)+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{24} a^{9}=\frac{1}{32} a^{9} .
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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