下册 9.1 第一型曲线积分与第一型曲面积分 第22题

\section*{解题过程：} 将 $x y z$ 坐标系保持原点不动旋转成 $u v w$ 坐标系，使 $w$ 轴上的单位向量为 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}(a, b, c)$ ．由于旋转变换是正交变换，保持度量不变，所以球面 $\Sigma$ 上的面积元 $\mathrm{d} S$ 也不变． 设球面 $\Sigma$ 上一点 $(x, y, z)$ 的新坐标为 $(u, v, w)$ ，则 $a x+b y+c z=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} w$ ．于是 $$ \iint_{\Sigma} f(a x+b y+c z) \mathrm{d} S=\iint_{\Sigma} f\left(\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} w\right) \mathrm{d} S $$ 令球面 $\Sigma$ 的参数方程为 $$ \begin{gathered} u=\sin \varphi \cos \theta, v=\sin \varphi \sin \theta, w=\cos \varphi, 0 \leqslant \varphi \leqslant \pi, 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi \\ E=u_{\varphi}^{2}+v_{\varphi}^{2}+w_{\varphi}^{2}=1, G=u_{\theta}^{2}+v_{\theta}^{2}+w_{\theta}^{2}=\sin ^{2} \varphi, F=u_{\varphi} \cdot u_{\theta} \cdot+v_{\varphi} \cdot v_{\theta}+w_{\varphi} \cdot w_{\theta}=0, \sqrt{E G-F^{2}}=\sin \varphi \end{gathered} $$ 所以 $\iint_{\Sigma} f(a x+b y+c z) \mathrm{d} S=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\pi} f\left(\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} \cos \varphi\right) \sin \varphi \mathrm{d} \varphi=2 \pi \int_{-1}^{1} f\left(u \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\right) \mathrm{d} u$ 。