下册 9.1 第一型曲线积分与第一型曲面积分 第23题
📝 题目
23．设 $B_{r}\left(M_{0}\right)$ 是以 $M_{0}=\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 为心，$r$ 为半径的球，$\partial B_{r}\left(M_{0}\right)$ 是以 $M_{0}$ 为心，$r$ 为半径的球面，$f(x, y, z)$ 在 $\mathbf{R}^{3}$ 上连续，证明：$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r} \iiint_{B_{r}\left(M_{0}\right)} f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\oiint_{\partial B_{r}\left(M_{0}\right)} f(x, y, z) \mathrm{d} S$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
作变换 $T: x=x_{0}+\rho \sin \varphi \cos \theta, y=y_{0}+\rho \sin \varphi \sin \theta, z=z_{0}+\rho \cos \varphi$ ，则积分区域变成
$$
0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi, 0 \leqslant \varphi \leqslant \pi, 0 \leqslant \rho \leqslant r
$$
则
于是
$$
\begin{aligned}
& \iiint_{B_{r}\left(M_{0}\right)} f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\int_{0}^{r} \rho^{2} \mathrm{~d} \rho \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\pi} f \sin \varphi \mathrm{~d} \varphi \\
& \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} r} \iiint_{B_{r}\left(M_{0}\right)} f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=r^{2} \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\pi} f \sin \varphi \mathrm{~d} \varphi
\end{aligned}
$$
化球面为参数形式：
$$
x=x_{0}+r \sin \varphi \cos \theta, y=y_{0}+r \sin \varphi \sin \theta, z=z_{0}+r \cos \varphi, 0 \leqslant \varphi \leqslant \pi, 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi .
$$
$E=x_{\varphi}^{2}+y_{\varphi}^{2}+z_{\varphi}^{2}=r^{2}, F=x_{\varphi} x_{\theta}+y_{\varphi} y_{\theta}+z_{\varphi} y_{\theta}=0, G=x_{\theta}^{2}+y_{\theta}^{2}+z_{\theta}^{2}=r^{2} \sin ^{2} \varphi, \sqrt{E G-F^{2}}=r^{2} \sin \varphi$.
于是 $\quad \oiint_{\partial B_{r}\left(M_{0}\right)} f(x, y, z) \mathrm{d} S=\iint_{D} f \sqrt{E G-F^{2}} \mathrm{~d} \theta \mathrm{~d} \varphi=\iint_{D} f r^{2} \sin \varphi \mathrm{~d} \theta \mathrm{~d} \varphi=r^{2} \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\pi} f \sin \varphi \mathrm{~d} \varphi$ ．
所以
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} r} \iiint_{B_{r}\left(M_{0}\right)} f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\oiint_{\partial B_{,}\left(M_{0}\right)} f(x, y, z) \mathrm{d} S .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：引入球坐标变换
作球坐标变换：令 $x = x_0 + \rho \sin\varphi \cos\theta$, $y = y_0 + \rho \sin\varphi \sin\theta$, $z = z_0 + \rho \cos\varphi$，其中 $\rho \geq 0$, $0 \leq \varphi \leq \pi$, $0 \leq \theta \leq 2\pi$。则球体 $B_r(M_0)$ 对应于 $0 \leq \rho \leq r$, $0 \leq \varphi \leq \pi$, $0 \leq \theta \leq 2\pi$。
公式：x = x_0 + \rho \sin\varphi \cos\theta, y = y_0 + \rho \sin\varphi \sin\theta, z = z_0 + \rho \cos\varphi
提示：注意球坐标变换中 $\varphi$ 是极角（与z轴夹角），$\theta$ 是方位角。
步骤 2/7
目标：写出三重积分的球坐标形式
三重积分在球坐标下的体积元为 $\rho^2 \sin\varphi \, d\rho \, d\varphi \, d\theta$。因此
$$
\iiint_{B_r(M_0)} f(x,y,z) \, dxdydz = \int_0^r \rho^2 \, d\rho \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\pi f(\rho,\varphi,\theta) \sin\varphi \, d\varphi,
$$
其中 $f(\rho,\varphi,\theta)$ 是 $f$ 在球坐标下的表达式。
公式：\iiint_{B_r(M_0)} f \, dV = \int_0^r \rho^2 \, d\rho \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\pi f \sin\varphi \, d\varphi
提示：不要遗漏体积元中的 $\rho^2 \sin\varphi$。
步骤 3/7
目标：对r求导
将三重积分视为 $r$ 的函数，由含参积分求导法则（莱布尼茨公式），对 $r$ 求导只需将积分上限 $r$ 代入被积函数，并乘以上限导数（为1）：
$$
\frac{d}{dr} \iiint_{B_r(M_0)} f \, dV = r^2 \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\pi f(r,\varphi,\theta) \sin\varphi \, d\varphi.
$$
公式：\frac{d}{dr} \int_0^r g(\rho) \, d\rho = g(r)
提示：注意求导时，内层积分与 $r$ 无关，只需对上限求导。
步骤 4/7
目标：写出球面的参数方程
球面 $\partial B_r(M_0)$ 的参数方程为：
$$
x = x_0 + r \sin\varphi \cos\theta, \quad y = y_0 + r \sin\varphi \sin\theta, \quad z = z_0 + r \cos\varphi,
$$
其中 $0 \leq \varphi \leq \pi$, $0 \leq \theta \leq 2\pi$。
公式：同上，但 $\rho = r$ 固定
提示：参数化时 $r$ 是常数，$\varphi$ 和 $\theta$ 是参数。
步骤 5/7
目标：计算球面的面积元
计算第一基本量：
$$
E = x_\varphi^2 + y_\varphi^2 + z_\varphi^2 = r^2, \quad F = x_\varphi x_\theta + y_\varphi y_\theta + z_\varphi z_\theta = 0, \quad G = x_\theta^2 + y_\theta^2 + z_\theta^2 = r^2 \sin^2\varphi.
$$
则面积元 $dS = \sqrt{EG - F^2} \, d\varphi \, d\theta = r^2 \sin\varphi \, d\varphi \, d\theta$。
公式：dS = \sqrt{EG - F^2} \, d\varphi \, d\theta = r^2 \sin\varphi \, d\varphi \, d\theta
提示：注意 $F=0$ 是因为参数曲线正交。
步骤 6/7
目标：写出曲面积分表达式
因此，曲面积分为
$$
\oiint_{\partial B_r(M_0)} f(x,y,z) \, dS = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\pi f(r,\varphi,\theta) \, r^2 \sin\varphi \, d\varphi = r^2 \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\pi f \sin\varphi \, d\varphi.
$$
公式：\oiint_{\partial B_r(M_0)} f \, dS = r^2 \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\pi f \sin\varphi \, d\varphi
提示：注意曲面积分是封闭曲面，但参数化后直接计算即可。
步骤 7/7
目标：比较两端，得出结论
由第3步和第6步的结果，两者相等：
$$
\frac{d}{dr} \iiint_{B_r(M_0)} f \, dV = r^2 \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\pi f \sin\varphi \, d\varphi = \oiint_{\partial B_r(M_0)} f \, dS.
$$
证毕。
公式：\frac{d}{dr} \iiint_{B_r(M_0)} f \, dV = \oiint_{\partial B_r(M_0)} f \, dS
提示：该结论是散度定理的推论，但此处直接通过坐标变换证明。
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