下册 9.1 第一型曲线积分与第一型曲面积分 第24题
📝 题目
24．求第一型曲面积分．
（1）设 $f(x, y, z)$ 表示从原点 $O(0,0,0)$ 到椭球面 $\displaystyle \sum: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1(a>0, b>0, c>0)$ 上点 $P(x, y, z)$ 处的切平面的距离，求第一型曲面积分 $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{\mathrm{d} S}{f(x, y, z)}$ ．
（2）设 $\rho(x, y, z)$ 表示从原点 $O(0,0,0)$ 到上半椭球面 $\displaystyle \Sigma: \frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2}+z^{2}=1$ 上点 $P(x, y, z)$ 处的切平面的距离，求第一型曲面积分 $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{z}{\rho(x, y, z)} \mathrm{d} S$ ．
（3）设 $\rho(x, y, z)$ 表示从原点 $O(0,0,0)$ 到上半椭球面 $S: z=\sqrt{2\left(1-x^{2}-y^{2}\right)}$ 上点 $P(x, y, z)$ 处的切平面的距离，求第一型曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} \frac{z}{\rho(x, y, z)} \mathrm{d} S$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）如图9．36 所示，椭球面 $\displaystyle S: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 上点 $P(x, y, z)$ 处的外法线向量为 $\displaystyle n=\left\{\frac{x}{a^{2}}, \frac{y}{b^{2}}, \frac{z}{c^{2}}\right\}$ ．点 $P(x, y, z)$ 处的切平面方程为
$$
(X-x) \frac{x}{a^{2}}+(Y-y) \frac{y}{b^{2}}+(Z-z) \frac{z}{c^{2}}=0 .
$$
即 $\displaystyle \frac{X x}{a^{2}}+\frac{Y y}{b^{2}}+\frac{Z z}{c^{2}}=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ ，其中 $(X, Y, Z)$ 为切平面上的点．原点到此切平面的距离为
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-251.jpg?height=1168&width=1217&top_left_y=6092&top_left_x=4482}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.36}
\end{figure}
$$
f(x, y, z)=\frac{1}{\sqrt{\left(\frac{x}{a^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{y}{b^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{z}{c^{2}}\right)^{2}}} .
$$
因此
$$
\begin{aligned}
\iint_{S} \frac{\mathrm{~d} S}{f(x, y, z)}= & \iint_{S} \sqrt{\left(\frac{x}{a^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{y}{b^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{z}{c^{2}}\right)^{2}} \mathrm{~d} S \\
= & \iint_{S}\left(\frac{x}{a^{2}} \cdot \frac{x}{a^{2}} \frac{1}{\sqrt{\left(\frac{x}{a^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{y}{b^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{z}{c^{2}}\right)^{2}}}+\frac{y}{b^{2}} \cdot \frac{y}{b^{2}} \frac{1}{\sqrt{\left(\frac{x}{a^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{y}{b^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{z}{c^{2}}\right)^{2}}}+\right. \\
& \left.\frac{z}{c^{2}} \cdot \frac{z}{c^{2}} \frac{1}{\sqrt{\left(\frac{x}{a^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{y}{b^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{z}{c^{2}}\right)^{2}}}\right) \mathrm{d} S \\
= & \iint_{S}\left(\frac{x}{a^{2}} \cos \alpha+\frac{y}{b^{2}} \cos \beta+\frac{z}{c^{2}} \cos \gamma\right) \mathrm{d} S .
\end{aligned}
$$
由高斯公式得
$$
\begin{aligned}
\iint_{S} \frac{\mathrm{~d} S}{f(x, y, z)} & =\iiint_{V}\left(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\left(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\right) \iiint_{V} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \\
& =\left(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\right) \frac{4 \pi}{3} a b c=\frac{4 \pi}{3 a b c}\left(b^{2} c^{2}+a^{2} c^{2}+a^{2} b^{2}\right)
\end{aligned}
$$
（2）如图9．37 所示，上半椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2}+z^{2}=1$ 上点 $P(x, y, z)$ 处的外法线向量为 $n=\{x, y, 2 z\}$ ．点 $P(x, y, z)$ 处的切平面方程为
$$
(X-x) \frac{x}{a^{2}}+(Y-y) \frac{y}{b^{2}}+(Z-z) \frac{z}{c^{2}}=0
$$
即 $\displaystyle \frac{X x}{2}+\frac{Y y}{2}+Z z=1$ ，其中 $(X, Y, Z)$ 为切平面上的点．
原点到此切平面的距离为 $\displaystyle \rho(x, y, z)=\frac{1}{\sqrt{\left(\frac{x}{2}\right)^{2}+\left(\frac{y}{2}\right)^{2}+(z)^{2}}}$ ．
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-252.jpg?height=1106&width=1396&top_left_y=4372&top_left_x=3930}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.37}
\end{figure}
因此 $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{z}{\rho(x, y, z)} \mathrm{d} S=\iint_{\Sigma} z \sqrt{\left(\frac{x}{2}\right)^{2}+\left(\frac{y}{2}\right)^{2}+z^{2}} \mathrm{~d} S$ ．
又 $\displaystyle \sqrt{\left(\frac{x}{2}\right)^{2}+\left(\frac{y}{2}\right)^{2}+z^{2}}=\frac{\left(\frac{x}{2}\right)^{2}+\left(\frac{y}{2}\right)^{2}+z^{2}}{\sqrt{\left(\frac{x}{2}\right)^{2}+\left(\frac{y}{2}\right)^{2}+z^{2}}}$
$$
\begin{aligned}
& =\frac{x}{2} \cdot \frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{\left(\frac{x}{2}\right)^{2}+\left(\frac{y}{2}\right)^{2}+z^{2}}}+\frac{y}{2} \cdot \frac{\frac{y}{2}}{\sqrt{\left(\frac{x}{2}\right)^{2}+\left(\frac{y}{2}\right)^{2}+z^{2}}}+z \cdot \frac{z}{\sqrt{\left(\frac{x}{2}\right)^{2}+\left(\frac{y}{2}\right)^{2}+z^{2}}} \\
& =\frac{x}{2} \cos \alpha+\frac{y}{2} \cos \beta+z \cos \gamma .
\end{aligned}
$$
于是，原式 $\displaystyle =\iint_{S} z\left(\frac{x}{2} \cos \alpha+\frac{y}{2} \cos \beta+z \cos \gamma\right) \mathrm{d} S$ ．
补曲面 $\displaystyle S^{\prime}: z=0, \frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2} \leqslant 1$ ，取下侧，则 $\displaystyle \iint_{S^{\prime}} z\left(\frac{x}{2} \cos \alpha+\frac{y}{2} \cos \beta+z \cos \gamma \mathrm{~d} S\right)=0$ ．由高斯公式得
$$
\iint_{S} \frac{z \mathrm{~d} S}{\rho(x, y, z)}=\iiint_{V}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+2\right) z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=3 \int_{0}^{1} z \mathrm{~d} z \iint_{D(z)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=3 \pi \int_{0}^{1} 2 z\left(1-z^{2}\right) \mathrm{d} z=\frac{3}{2} \pi
$$
（3）图 9.38 所示，上半椭球面 $S: z=\sqrt{2\left(1-x^{2}-y^{2}\right)}$ 上点 $P(x, y, z)$ 处的外法线向量为 $n=\{x, y, 2 z\}$ ．设切平面上的点为 $(X, Y, Z)$ ，则点 $P(x, y, z)$ 处的切平面方程为
$\displaystyle (X-x) \frac{x}{a^{2}}+(Y-y) \frac{y}{b^{2}}+(Z-z) \frac{z}{c^{2}}=0$ ，即 $\displaystyle X x+Y y+\frac{1}{2} Z z=1$ ．
原点到此切平面的距离为
$$
\rho(x, y, z)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+\left(\frac{1}{2} z\right)^{2}}}
$$
因此
$$
\iint_{\Sigma} \frac{z}{\rho(x, y, z)} \mathrm{d} S=\iint_{\Sigma} z \sqrt{x^{2}+y^{2}+\left(\frac{z}{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} S .
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-253.jpg?height=1099&width=1403&top_left_y=2472&top_left_x=4213}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．38}
\end{figure}
又 $\displaystyle \sqrt{x^{2}+y^{2}+\left(\frac{z}{2}\right)^{2}}=\frac{x^{2}+y^{2}+\left(\frac{z}{2}\right)^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+\left(\frac{z}{2}\right)^{2}}}$
$$
\begin{aligned}
& =x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+\left(\frac{z}{2}\right)^{2}}}+\frac{y}{2} \cdot \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+\left(\frac{z}{2}\right)^{2}}}+\frac{z}{2} \cdot \frac{\frac{z}{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+\left(\frac{z}{2}\right)^{2}}} \\
& =x \cos \alpha+y \cos \beta+\frac{1}{2} z \cos \gamma .
\end{aligned}
$$
于是，原式 $\displaystyle =\iint_{S} z\left(x \cos \alpha+y \cos \beta+\frac{z}{2} \cos \gamma\right) \mathrm{d} S$ ．
补曲面 $S^{\prime}: z=0, x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ ，取下侧，则 $\displaystyle \iint_{S^{\prime}} z\left(\frac{x}{2} \cos \alpha+\frac{y}{2} \cos \beta+z \cos \gamma\right) \mathrm{d} S=0$ ．由高斯公式得
$$
\iint_{S} \frac{z \mathrm{~d} S}{\rho(x, y, z)}=\iiint_{V}(1+1+1) z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=3 \int_{0}^{1} z \mathrm{~d} z \iint_{D(z)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=3 \pi \int_{0}^{1} z\left(1-\frac{z^{2}}{2}\right) \mathrm{d} z=\frac{9}{8} \pi .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：求切平面方程和原点到切平面的距离
对于椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$，点 $P(x,y,z)$ 处的法向量为 $\left(\frac{x}{a^2},\frac{y}{b^2},\frac{z}{c^2}\right)$。切平面方程为 $\frac{Xx}{a^2}+\frac{Yy}{b^2}+\frac{Zz}{c^2}=1$。原点到切平面的距离为 $f(x,y,z)=\frac{1}{\sqrt{\left(\frac{x}{a^2}\right)^2+\left(\frac{y}{b^2}\right)^2+\left(\frac{z}{c^2}\right)^2}}$。
公式：d = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}
提示：注意法向量的方向，距离公式中分子为1（因为原点代入切平面方程得-1的绝对值）。
步骤 2/8
目标：将积分表达式转化为向量点积形式
所求积分为 $\iint_\Sigma \frac{dS}{f(x,y,z)} = \iint_\Sigma \sqrt{\left(\frac{x}{a^2}\right)^2+\left(\frac{y}{b^2}\right)^2+\left(\frac{z}{c^2}\right)^2} dS$。注意到 $\sqrt{\left(\frac{x}{a^2}\right)^2+\left(\frac{y}{b^2}\right)^2+\left(\frac{z}{c^2}\right)^2} = \frac{x}{a^2}\cdot\frac{x}{a^2\sqrt{(\cdots)}} + \frac{y}{b^2}\cdot\frac{y}{b^2\sqrt{(\cdots)}} + \frac{z}{c^2}\cdot\frac{z}{c^2\sqrt{(\cdots)}}$，而 $\frac{x}{a^2\sqrt{(\cdots)}},\frac{y}{b^2\sqrt{(\cdots)}},\frac{z}{c^2\sqrt{(\cdots)}}$ 是单位法向量的方向余弦，因此原积分 $= \iint_\Sigma \left(\frac{x}{a^2}\cos\alpha+\frac{y}{b^2}\cos\beta+\frac{z}{c^2}\cos\gamma\right) dS$。
公式：\cos\alpha = \frac{F_x}{\sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2}}
提示：注意方向余弦的定义，此处法向量为梯度方向。
步骤 3/8
目标：应用高斯公式将曲面积分转化为三重积分
由高斯公式，$\iint_\Sigma (P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)dS = \iiint_V \left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) dV$，其中 $P=\frac{x}{a^2}, Q=\frac{y}{b^2}, R=\frac{z}{c^2}$。则散度为 $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$。因此原积分 $= \left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\iiint_V dV$，其中 $V$ 是椭球体。
公式：\iint_\Sigma \mathbf{F}\cdot\mathbf{n} dS = \iiint_V \nabla\cdot\mathbf{F} dV
提示：高斯公式要求曲面封闭，此处椭球面封闭，可直接应用。
步骤 4/8
目标：计算椭球体积并代入结果
椭球 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 的体积为 $\frac{4\pi}{3}abc$。因此原积分 $= \left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\cdot\frac{4\pi}{3}abc = \frac{4\pi}{3abc}(b^2c^2+a^2c^2+a^2b^2)$。
公式：V = \frac{4\pi}{3}abc
提示：注意椭球体积公式中abc是半轴长。
步骤 5/8
目标：处理第二问：上半椭球面，补面后用高斯公式
上半椭球面 $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+z^2=1$，法向量为 $(x,y,2z)$，切平面方程 $\frac{Xx}{2}+\frac{Yy}{2}+Zz=1$，距离 $\rho = \frac{1}{\sqrt{(x/2)^2+(y/2)^2+z^2}}$。积分 $\iint_\Sigma \frac{z}{\rho}dS = \iint_\Sigma z\sqrt{(x/2)^2+(y/2)^2+z^2}dS$。类似地，将根号写成 $\frac{x}{2}\cos\alpha+\frac{y}{2}\cos\beta+z\cos\gamma$，则原积分 $= \iint_\Sigma z\left(\frac{x}{2}\cos\alpha+\frac{y}{2}\cos\beta+z\cos\gamma\right)dS$。补底面 $S':z=0, \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}\leq 1$，取下侧，则 $\iint_{S'} z(\cdots)dS=0$。由高斯公式，封闭曲面上的积分 $= \iiint_V \left[\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{xz}{2}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{yz}{2}\right)+\frac{\partial}{\partial z}(z^2)\right]dV = \iiint_V \left(\frac{z}{2}+\frac{z}{2}+2z\right)dV = 3\iiint_V z dV$。
公式：高斯公式：散度计算
提示：补面后注意方向，取下侧使法向量与z轴负方向一致，但被积函数在底面上为零，故不影响。
步骤 6/8
目标：计算三重积分得到结果
区域 $V$ 是上半椭球体：$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+z^2\leq 1, z\geq 0$。采用先二后一法：$\iiint_V z dV = \int_0^1 z dz \iint_{D(z)} dxdy$，其中 $D(z): \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}\leq 1-z^2$，即椭圆 $x^2+y^2\leq 2(1-z^2)$，面积为 $2\pi(1-z^2)$。因此 $\iiint_V z dV = \int_0^1 z\cdot 2\pi(1-z^2)dz = 2\pi\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)=\frac{\pi}{2}$。乘以3得 $\frac{3\pi}{2}$。
公式：椭圆面积公式 $S=\pi ab$
提示：注意椭圆半轴：$a=\sqrt{2(1-z^2)}, b=\sqrt{2(1-z^2)}$，面积 $\pi a b = 2\pi(1-z^2)$。
步骤 7/8
目标：处理第三问：上半椭球面另一种形式
曲面 $S: z=\sqrt{2(1-x^2-y^2)}$，即 $x^2+y^2+\frac{z^2}{2}=1, z\geq 0$。法向量为 $(x,y,2z)$，切平面方程 $Xx+Yy+\frac{Zz}{2}=1$，距离 $\rho = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+(z/2)^2}}$。积分 $\iint_S \frac{z}{\rho}dS = \iint_S z\sqrt{x^2+y^2+(z/2)^2}dS$。将根号写成 $x\cos\alpha+y\cos\beta+\frac{z}{2}\cos\gamma$，则原积分 $= \iint_S z\left(x\cos\alpha+y\cos\beta+\frac{z}{2}\cos\gamma\right)dS$。补底面 $S':z=0, x^2+y^2\leq 1$，取下侧，底面积分为0。由高斯公式，封闭曲面上的积分 $= \iiint_V \left[\frac{\partial}{\partial x}(xz)+\frac{\partial}{\partial y}(yz)+\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{z^2}{2}\right)\right]dV = \iiint_V (z+z+z)dV = 3\iiint_V z dV$。
公式：高斯公式
提示：注意曲面方程不同，但散度计算结果相同。
步骤 8/8
目标：计算三重积分得到第三问结果
区域 $V$ 是上半椭球体：$x^2+y^2+\frac{z^2}{2}\leq 1, z\geq 0$。采用先二后一法：$\iiint_V z dV = \int_0^1 z dz \iint_{D(z)} dxdy$，其中 $D(z): x^2+y^2\leq 1-\frac{z^2}{2}$，面积为 $\pi\left(1-\frac{z^2}{2}\right)$。因此 $\iiint_V z dV = \int_0^1 z\cdot\pi\left(1-\frac{z^2}{2}\right)dz = \pi\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{8}\right)=\frac{3\pi}{8}$。乘以3得 $\frac{9\pi}{8}$。
公式：圆面积公式
提示：注意截面是圆，半径平方为 $1-\frac{z^2}{2}$。
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