下册 9.2 第二型曲线积分 第1题
📝 题目
1．计算下列第二型曲线积分，其中有向曲线 $L$ 为沿着正弦曲线 $y=\sin x$ ，由点 $O(0,0)$ 到点 $A(\pi, 0)$ ．
（1） $\int_{L} \mathrm{e}^{x}(a-\cos y) \mathrm{d} x+\mathrm{e}^{x}(\sin y-y) \mathrm{d} y .(a=1:$ 北京大学 2015，武汉理工 2009，湖南大学 2004，徐州师大 2007；$a=2$ ：东北大学 2003）
（2） $\int_{L}\left(y^{2}-\cos y\right) \mathrm{d} x+x \sin y \mathrm{~d} y$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
如图 9.39 所示，补有向线段 $L_{1}: y=0, x: 0 \rightarrow \pi, L+L_{1}^{-}$为封闭有向曲线，顺时针方向．
（1） $\int_{L+L_{-}^{-}} \mathrm{e}^{x}(a-\cos y) \mathrm{d} x+\mathrm{e}^{x}(\sin y-y) \mathrm{d} y$
$$
\begin{aligned}
& =-\iint_{D}-y \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} \sigma=\int_{0}^{\pi} \mathrm{d} x \int_{0}^{\sin x} y \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} y=\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x} \sin ^{2} x \mathrm{~d} x \\
& =\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x} \frac{1-\cos 2 x}{2} \mathrm{~d} x=\frac{1}{4}\left(\int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x-\int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x} \cos 2 x \mathrm{~d} x\right) \\
& =\frac{1}{4}\left(\mathrm{e}^{\pi}-1\right)-\frac{1}{20}\left(\mathrm{e}^{\pi}-1\right)=\frac{1}{5}\left(\mathrm{e}^{\pi}-1\right)
\end{aligned}
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-255.jpg?height=961&width=1216&top_left_y=6036&top_left_x=4379}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.39}
\end{figure}
又 $\int_{L} \mathrm{e}^{x}(a-\cos y) \mathrm{d} x+\mathrm{e}^{x}(\sin y-y) \mathrm{d} y=(a-1) \int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x=(a-1)\left(\mathrm{e}^{\pi}-1\right)$ ．所以
$$
\begin{aligned}
\int_{L} \mathrm{e}^{x}(a-\cos y) \mathrm{d} x+\mathrm{e}^{x}(\sin y-y) \mathrm{d} y & =\int_{L_{1}} \mathrm{e}^{x}(a-\cos y) \mathrm{d} x+\mathrm{e}^{x}(\sin y-y) \mathrm{d} y+\frac{\mathrm{e}^{\pi}-1}{5} \\
& =(a-1)\left(\mathrm{e}^{\pi}-1\right)+\frac{\mathrm{e}^{\pi}-1}{5}
\end{aligned}
$$
注： $\int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x} \cos 2 x \mathrm{~d} x=\left.\mathrm{e}^{x} \cos 2 x\right|_{0} ^{2 \pi}+2 \int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x} \sin 2 x \mathrm{~d} x=\mathrm{e}^{\pi}-1+2\left(\left.\mathrm{e}^{x} \sin 2 x\right|_{0} ^{2 \pi}-2 \int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x} \cos 2 x \mathrm{~d} x\right)$
$$
\begin{aligned}
=\mathrm{e}^{\pi}-1-4 \int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x} \cos 2 x \mathrm{~d} x & \\
\int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x} \cos 2 x \mathrm{~d} x & =\frac{1}{5}\left(\mathrm{e}^{\pi}-1\right)
\end{aligned}
$$
（2）$\quad \int_{L+L_{1}}\left(y^{2}-\cos y\right) \mathrm{d} x+x \sin y \mathrm{~d} y=-\iint_{D}(\sin y-2 y-\sin y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$
$$
=2 \int_{0}^{\pi} \mathrm{d} x \int_{0}^{\sin x} y \mathrm{~d} y=\int_{0}^{\pi} \sin ^{2} x \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{2} .
$$
又 $\int_{L_{1}}\left(y^{2}-\cos y\right) \mathrm{d} x+x \sin y \mathrm{~d} y=-\int_{L_{1}} \mathrm{~d} x=-\int_{0}^{\pi} \mathrm{d} x=-\pi$ ．于是
$$
\int_{L}\left(y^{2}-\cos y\right) \mathrm{d} x+x \sin y \mathrm{~d} y=\frac{1}{2} \pi+\int_{L_{1}}\left(y^{2}-\cos y\right) \mathrm{d} x+x \sin y \mathrm{~d} y=\frac{1}{2} \pi-\pi=-\frac{1}{2} \pi
$$
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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