下册 9.2 第二型曲线积分 第2题
📝 题目
2．在过原点 $O(0,0)$ 和点 $A(\pi, 0)$ 的曲线簇 $y=a \sin x(a>0)$ 中，求一条曲线 $L$ 使得从 $O$ 到 $A$的积分 $\int_{L}\left(1+y^{3}\right) \mathrm{d} x+(2 x+y) \mathrm{d} y$ 的值最小．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
如图 9.40 所示，令 $L_{1}: y=0, x: 0 \rightarrow \pi$ ，即 $O A$ 直线段．$L+L_{1}{ }^{-}$构成封闭有向曲线，顺时针方向．由格林公式得
$$
\begin{aligned}
& \int_{L+L_{1}}\left(1+y^{3}\right) \mathrm{d} x+(2 x+y) \mathrm{d} y \\
& =-\iint_{D}\left(2-3 y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-\int_{0}^{\pi} \mathrm{d} x \int_{0}^{a \sin x}\left(2-3 y^{2}\right) \mathrm{d} y=\frac{4}{3} \tilde{a}^{3}-4 a .
\end{aligned}
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-256.jpg?height=989&width=1230&top_left_y=3688&top_left_x=4206}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.40}
\end{figure}
又 $\int_{L_{1}}\left(1+y^{3}\right) \mathrm{d} x+(2 x+y) \mathrm{d} y=\int_{L_{1}} \mathrm{~d} x=\pi$ ．于是
$$
\int_{L}\left(1+y^{3}\right) \mathrm{d} x+(2 x+y) \mathrm{d} y=\frac{4}{3} a^{3}-4 a-\int_{L_{1}}\left(1+y^{3}\right) \mathrm{d} x+(2 x+y) \mathrm{d} y=\frac{4}{3} a^{3}-4 a+\pi
$$
记 $\displaystyle g(a)=\frac{4}{3} a^{3}-4 a+\pi$ ．由 $g^{\prime}(a)=4 a^{2}-4=0$ 得 $a=1$ ．所以当 $a=1$ 时达到最小值 $\displaystyle \pi-\frac{8}{3}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造封闭曲线并应用格林公式
令 $L_1: y=0, x:0\to\pi$，即从 $O$ 到 $A$ 的直线段。则 $L+L_1^-$ 构成顺时针方向的封闭有向曲线。由格林公式，
$$
\int_{L+L_1^-} (1+y^3)dx+(2x+y)dy = -\iint_D \left(\frac{\partial (2x+y)}{\partial x} - \frac{\partial (1+y^3)}{\partial y}\right) dxdy = -\iint_D (2-3y^2)dxdy,
$$
其中 $D$ 是由 $L$ 和 $L_1$ 围成的区域。
公式：格林公式：$\oint_{L} Pdx+Qdy = \iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})dxdy$
提示：注意曲线方向为顺时针，格林公式取负号。
步骤 2/5
目标：计算二重积分
区域 $D$ 由 $y=0$，$y=a\sin x$，$x=0$，$x=\pi$ 围成。计算二重积分：
$$
\iint_D (2-3y^2)dxdy = \int_0^\pi dx \int_0^{a\sin x} (2-3y^2)dy = \int_0^\pi \left[2y - y^3\right]_0^{a\sin x} dx = \int_0^\pi (2a\sin x - a^3\sin^3 x)dx.
$$
计算得 $\int_0^\pi 2a\sin x dx = 4a$，$\int_0^\pi a^3\sin^3 x dx = \frac{4}{3}a^3$，所以
$$
\iint_D (2-3y^2)dxdy = 4a - \frac{4}{3}a^3.
$$
因此
$$
\int_{L+L_1^-} (1+y^3)dx+(2x+y)dy = -\left(4a - \frac{4}{3}a^3\right) = \frac{4}{3}a^3 - 4a.
$$
提示：计算 $\int_0^\pi \sin^3 x dx$ 时，可用 $\sin^3 x = \frac{3}{4}\sin x - \frac{1}{4}\sin 3x$ 或换元。
步骤 3/5
目标：计算直线段 $L_1$ 上的积分
在 $L_1$ 上，$y=0$，$dy=0$，所以
$$
\int_{L_1} (1+y^3)dx+(2x+y)dy = \int_0^\pi (1+0)dx = \pi.
$$
注意 $L_1$ 方向是从 $O$ 到 $A$，与 $L+L_1^-$ 中的方向相反。
提示：注意 $L_1$ 的方向与封闭曲线中的方向相反，但此处我们直接计算 $L_1$ 上的积分，后续会用到。
步骤 4/5
目标：利用封闭曲线积分与直线段积分求 $L$ 上的积分
由封闭曲线积分：$\int_{L+L_1^-} = \int_L + \int_{L_1^-}$，而 $\int_{L_1^-} = -\int_{L_1}$，所以
$$
\int_L = \int_{L+L_1^-} - \int_{L_1^-} = \int_{L+L_1^-} + \int_{L_1} = \left(\frac{4}{3}a^3 - 4a\right) + \pi.
$$
因此
$$
\int_L (1+y^3)dx+(2x+y)dy = \frac{4}{3}a^3 - 4a + \pi.
$$
提示：注意方向：$L_1^-$ 表示与 $L_1$ 反向，积分值相反。
步骤 5/5
目标：求函数最小值
记 $g(a) = \frac{4}{3}a^3 - 4a + \pi$，$a>0$。求导得 $g'(a) = 4a^2 - 4$。令 $g'(a)=0$，得 $a=1$（$a=-1$ 舍去）。又 $g''(a)=8a>0$，所以 $a=1$ 为极小值点。最小值为 $g(1) = \frac{4}{3} - 4 + \pi = \pi - \frac{8}{3}$。
公式：导数求极值：$g'(a)=0$，$g''(a)>0$ 为极小值
提示：注意定义域 $a>0$，且需验证二阶导数确认极小值。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。