下册 9.2 第二型曲线积分 第4题
📝 题目
4．设 $L$ 是从点 $A(a, 0)$ 到点 $O(0,0)$ 的上半圆周 $x^{2}+y^{2}=a x(y \geqslant 0, a>0)$ ，取逆时针方向，计算下列曲线积分。
（1） $\int_{L}\left(\mathrm{e}^{x} \sin y-m y\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{x} \cos y-m\right) \mathrm{d} y, m$ 是常数．（湖南师大 2013，上海大学 2013，沈阳 工 大 2012，延安大学 2002，苏州科技 2009，南昌大学 2003，福州大学 2004，江苏大学 2004，湖北大学 2010，西北大学 2000，武汉理工 2007，北京科技 2008，天津大学 2003，广西大学 2004，北航 2007，兰州大学 2002，东华大学 $2010(a=2)$ ，徐州师大 $2006(m=1, a=2)$ ，上海理工 $2005(m=8)$ ，宁波大学 $2010(m=5)$ ，浙江师大 $2010(m=2, L$ 为 $\left.(x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}\right)$
（2） $\int_{L}\left(\mathrm{e}^{x} \sin y-y\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{x} \cos y+2\right) \mathrm{d} y$ ．
（3） $\int_{L}\left(\mathrm{e}^{x} \sin y-y^{2}\right) \mathrm{d} x+\mathrm{e}^{x} \cos y \mathrm{~d} y$ 。
（4） $\int_{L} \mathrm{e}^{x} \sin y \mathrm{~d} y-\mathrm{e}^{x} \cos y \mathrm{~d} x$ 。华中师大 $2007 a=2$ ）
💡 答案解析
解题过程：
（1）如图9．45所示，令 $P=\mathrm{e}^{x} \sin y-m y, Q=\mathrm{e}^{x} \cos y-m$ ，则
$$
Q_{x}=\mathrm{e}^{x} \cos y, P_{y}=\mathrm{e}^{x} \cos y-m
$$
在 $O x$ 轴上连接点 $O(0,0)$ 与点 $A(a, 0)$ ，构成封闭的半圆形 $\overparen{A O A}$ ，且在线段 $O A$ 上，$y=0,0 \leqslant x \leqslant a$ 。于是
$$
\int_{O A}\left(\mathrm{e}^{x} \sin y-m y\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{x} \cos y-m\right) \mathrm{d} y=0 .
$$
由格林公式得
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-259.jpg?height=782&width=1244&top_left_y=904&top_left_x=4220}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.45}
\end{figure}
$$
\oint_{\overparen{A O A}}\left(\mathrm{e}^{x} \sin y-m y\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{x} \cos y-m\right) \mathrm{d} y=\iint_{D: x^{2}+y^{2}
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：补线构造闭曲线
由于曲线 $L$ 是上半圆周 $x^2+y^2=ax$（$y\geq 0$），不是封闭曲线，无法直接应用格林公式。因此，补充直线段 $L_1$：从 $O(0,0)$ 到 $A(a,0)$ 沿 $x$ 轴，即 $y=0$，$x$ 从 $0$ 到 $a$，方向为从 $O$ 到 $A$。这样 $L+L_1$ 构成逆时针方向的封闭半圆区域 $D$。
提示：注意补充的直线段方向应与原曲线构成逆时针闭曲线。
步骤 2/4
目标：计算闭曲线上的积分（格林公式）
令 $P(x,y)=e^x\sin y - my$，$Q(x,y)=e^x\cos y - m$。计算偏导数：$\frac{\partial Q}{\partial x}=e^x\cos y$，$\frac{\partial P}{\partial y}=e^x\cos y - m$。则 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}=m$。由格林公式，
$$\oint_{L+L_1} P\,dx+Q\,dy = \iint_D m\,dxdy = m \cdot \text{面积}(D).$$
区域 $D$ 是半圆：$x^2+y^2 \leq ax$，$y\geq 0$，其半径为 $a/2$，面积为 $\frac{1}{2}\pi\left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{8}$。因此积分值为 $\frac{m\pi a^2}{8}$。
公式：格林公式：$\oint_{\partial D} Pdx+Qdy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$
提示：注意格林公式要求闭曲线方向为正向（逆时针），这里 $L+L_1$ 是逆时针。
步骤 3/4
目标：计算直线段上的积分
在直线段 $L_1$ 上，$y=0$，$dy=0$，且 $\sin 0=0$，$\cos 0=1$。代入 $P$ 和 $Q$ 得：
$$\int_{L_1} (e^x\cdot 0 - m\cdot 0)dx + (e^x\cdot 1 - m)\cdot 0 = 0.$$
所以直线段上的积分为 $0$。
提示：注意 $y=0$ 时 $dy=0$，且 $\sin y=0$，$\cos y=1$。
步骤 4/4
目标：得到原曲线积分结果
由于 $\oint_{L+L_1} = \int_L + \int_{L_1}$，且 $\int_{L_1}=0$，所以
$$\int_L Pdx+Qdy = \frac{m\pi a^2}{8}.$$
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