下册 9.2 第二型曲线积分 第5题
📝 题目
5．计算下列第二型曲线积分．
（1）$\oint_{L}\left(\mathrm{e}^{x} \sin 2 y-y\right) \mathrm{d} x+\left(2 \mathrm{e}^{x} \cos 2 y-100\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 为单位圆从点 $A(1,0)$ 到点 $B(-1,0)$ 的上半圆周和从点 $B(-1,0)$ 到点 $A(1,0)$ 的直线段组成的闭路．
（2） $\int_{L}\left(-2 x \mathrm{e}^{-x^{2}} \sin y\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{-x^{2}} \cos y+x^{4}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 为从点 $A(1,0)$ 到点 $B(-1,0)$ 的半圆 $y=\sqrt{1-x^{2}}$ ， $-1 \leqslant x \leqslant 1$ ．
（3） $\int_{L}\left(f^{\prime}(x) \sin y-x^{2} y\right) \mathrm{d} x+\left(f(x) \cos y+x y^{2}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 为 $x^{2}+y^{2}=1$ 的上半圆从点 $A(1,0)$ 到点 $B(-1,0)$ 的弧段，$f(x)$ 具有连续导数．
（4） $\int_{L}\left(\mathrm{e}^{x} \sin y+y+1\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{x} \cos y+2 x\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是从点 $A(-1,0)$ 到点 $B(1,0)$ 的上半圆周 $x^{2}+y^{2}=1$ ．
（5） $\int_{L}\left(x^{2}-y\right) \mathrm{d} y+\left(y^{2}-x\right) \mathrm{d} x$ ，其中 $L$ 以 $(0,0)$ 为心，以 $a$ 为半径的上半圆周，逆时针方向．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）如图 9.46 所示，记 $L$ 围成的区域为 $D$ ．由格林公式得
$$
\oint_{L}\left(\mathrm{e}^{x} \sin 2 y-y\right) \mathrm{d} x+\left(2 \mathrm{e}^{x} \cos 2 y-100\right) \mathrm{d} y=\iint_{D} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\frac{1}{2} \pi .
$$
（2）补直线段 $L_{1}: y=0, x:-1 \rightarrow 1$ ，则 $L+L_{1}$ 为闭曲线，逆时针方向，
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-260.jpg?height=933&width=1403&top_left_y=1174&top_left_x=4151}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.46}
\end{figure}围成的区域记为 $D=\left\{(x, y): x^{2}+y^{2} \leqslant 1, y \geqslant 0\right\}$ ．由格林公式得
$$
\begin{aligned}
& \int_{L+L_{1}}\left(-2 x \mathrm{e}^{-x^{2}} \sin y\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{-x^{2}} \cos y+x^{4}\right) \mathrm{d} y \\
& =\iint_{D}\left(-2 x \mathrm{e}^{-x^{2}} \cos y+4 x^{3}+2 x \mathrm{e}^{-x^{2}} \cos y\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=4 \iint_{D} x^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=4 \int_{0}^{\pi} \cos ^{3} \theta \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{1} r^{4} \mathrm{~d} r=0 .
\end{aligned}
$$
又 $\int_{L_{1}}\left(-2 x \mathrm{e}^{-x^{2}} \sin y\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{-x^{2}} \cos y+x^{4}\right) \mathrm{d} y=\int_{L_{1}} 0 \mathrm{~d} x=0$ ．于是
$$
\int_{L}\left(-2 x \mathrm{e}^{-x^{2}} \sin y\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{-x^{2}} \cos y+x^{4}\right) \mathrm{d} y=0 .
$$
（3）补直线段 $L_{1}: y=0, x:-1 \rightarrow 1$ ，则 $L+L_{1}$ 为闭曲线，逆时针方向，围成的区域记为 $D$ ．由格林公式得
$$
\int_{L+L_{1}}\left(f^{\prime}(x) \sin y-x^{2} y\right) \mathrm{d} x+\left(f(x) \cos y+x y^{2}\right) \mathrm{d} y=\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{0}^{\pi} \mathrm{d} \theta \int_{0}^{1} r^{3} \mathrm{~d} r=\frac{1}{4} \pi
$$
又 $\int_{L_{1}}\left(f^{\prime}(x) \sin y-x^{2} y\right) \mathrm{d} x+\left(f(x) \cos y+x y^{2}\right) \mathrm{d} y=\int_{L_{1}} 0 \mathrm{~d} x=0$ ．于是
$$
\int_{L}\left(f^{\prime}(x) \sin y-x^{2} y\right) \mathrm{d} x+\left(f(x) \cos y+x y^{2}\right) \mathrm{d} y=\frac{1}{4} \pi .
$$
（4）如图 9.47 所示，记 $P(x, y)=\mathrm{e}^{x} \sin y+y+1, Q(x, y)=\mathrm{e}^{x} \cos y+2 x$ ，则 $Q_{x}-P_{y}=1$ ．补直线段 $L_{1}: y=0, x:-1 \rightarrow 1$ ，则 $L+L_{1}^{-}$为闭曲线，顺时针方向，围成的区域 $D=\left\{(x, y): x^{2}+y^{2} \leqslant 1, y \geqslant 0\right\}$ ．由格林公式得
$$
\int_{L+L_{1}}\left(\mathrm{e}^{x} \sin y+y+1\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{x} \cos y+2 x\right) \mathrm{d} y=-\iint_{D} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-\frac{1}{2} \pi .
$$
又 $\int_{L_{1}}\left(\mathrm{e}^{x} \sin y+y+1\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{x} \cos y+2 x\right) \mathrm{d} y=\int_{L_{1}} \mathrm{~d} x=2$ ．于是
$$
\int_{L}\left(\mathrm{e}^{x} \sin y+y+1\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{x} \cos y+2 x\right) \mathrm{d} y=-\frac{1}{2} \pi+\int_{L_{1}}\left(\mathrm{e}^{x} \sin y+y+1\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{x} \cos y+2 x\right) \mathrm{d} y=-\frac{1}{2} \pi+2 .
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-260.jpg?height=947&width=1313&top_left_y=7086&top_left_x=1139}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.47}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-260.jpg?height=857&width=1299&top_left_y=7169&top_left_x=3412}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.48}
\end{figure}
（5）如图 9.48 所示，补直线段 $L_{1}: y=0, x:-a \rightarrow a$ ，则 $L+L_{1}$ 为闭曲线，逆时针方向，记围成的区域为 $D$ ．由格林公式得
$$
\begin{aligned}
\int_{L}\left(x^{2}-y\right) \mathrm{d} y+\left(y^{2}-x\right) \mathrm{d} x & =2 \iint_{D}(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y-\int_{L_{4}}\left(x^{2}-y\right) \mathrm{d} y+\left(y^{2}-x\right) \mathrm{d} x \\
& =2 \iint_{D}(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+\int_{-a}^{a} x \mathrm{~d} x=2 \iint_{D}(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=2 \iint_{D}-y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-\frac{4}{3} a^{3} .
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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