下册 9.2 第二型曲线积分 第6题
📝 题目
6．计算下列第二型曲线积分．
（1） $\int_{\overparen{A M B}}\left(\varphi(y) \mathrm{e}^{x}-m y\right) \mathrm{d} x+\left(\varphi^{\prime}(y) \mathrm{e}^{x}-m\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\varphi(y), \varphi^{\prime}(y)$ 为平面 $\mathbf{R}^{2}$ 上的连续函数，$\overparen{A M B}$ 是连接点 $A(1,2)$ 到点 $B(3,4)$ 的任意简单路径（方向从 $A$ 到 $B$ ），但它与直线 $A B$ 围成的区域面积为定值 $s>0$ ．
（2） $\int_{\overparen{A M B}}(f(y) \cos x-\pi y) \mathrm{d} x+\left(f^{\prime}(y) \sin x-\pi\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $f(y), f^{\prime}(y)$ 为平面 $\mathbf{R}^{2}$ 上的连续函数， $A M B$ 是连接点 $A(\pi, 2)$ 到点 $B(3 \pi, 2)$ 的线段 $A B$ 之下方的任意简单路径，它与线段 $A B$ 围成的区域面积为定值 $\pi$ 。
（3） $\int_{A M B}(f(y) \cos x-\pi y) \mathrm{d} x+\left(f^{\prime}(y) \sin x-\pi\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $f(y), f^{\prime}(y)$ 为平面 $\mathbf{R}^{2}$ 上的连续函数，$A M B$ 是连接点 $A(\pi, 2)$ 到点 $B(3 \pi, 4)$ 的线段 $A B$ 之下方的任意简单路径，它与线段 $A B$ 围成的区域面积为定值 $a$ ．
分析：对非闭路的积分，常采用补加曲线变成闭曲线的积分．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）记 $A\left(x_{1}, y_{1}\right)=(1,2), B\left(x_{2}, y_{2}\right)=(3,4), P=\varphi(y) \mathrm{e}^{x}-m y, Q=\varphi^{\prime}(y) \mathrm{e}^{x}-m$ ，则
$$
\frac{\partial P}{\partial y}=\varphi^{\prime}(y) \mathrm{e}^{x}-m, \frac{\partial Q}{\partial x}=\varphi^{\prime}(y) \mathrm{e}^{x}, Q_{x}-P_{y}=\varphi^{\prime}(y) \mathrm{e}^{x}-\varphi^{\prime}(y) \mathrm{e}^{x}+m=m .
$$
补直线段 $B A$ ，则 $B A+L_{\overparen{A M B}}$ 为闭曲线．
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-261.jpg?height=1307&width=3068&top_left_y=5649&top_left_x=1346}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.49}
\end{figure}
若闭曲线为逆时针方向（见图9．49（1）），由格林公式得
$$
\int_{\overparen{A M B}} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+\int_{B A} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=m s .
$$
若闭曲线为顺时针方向（见图9．49（2）），由格林公式有
$$
\int_{\overparen{A M B}} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+\int_{B A} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=-\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-m s
$$
$B A$ 的直线方程为 $\displaystyle y-y_{1}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\left(x-x_{1}\right)$ ，则
$$
\begin{aligned}
\int_{B A} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y & =\int_{\left(x_{1}, y_{1}\right)}^{\left(x_{2}, y_{2}\right)} \mathrm{d} \varphi(y) \mathrm{e}^{x}-m \mathrm{~d} y-m y \frac{x_{2}-x_{1}}{y_{2}-y_{1}} \mathrm{~d} y \\
& =\varphi\left(y_{2}\right) \mathrm{e}^{x_{2}}-\varphi\left(y_{1}\right) \mathrm{e}^{x_{1}}-m\left(y_{2}-y_{1}\right)-\frac{m}{2}\left(y_{2}+y_{1}\right)\left(x_{2}-x_{1}\right)=\varphi(4) \mathrm{e}^{3}-\varphi(2) \mathrm{e}-8 m
\end{aligned}
$$
于是 $\quad \int_{\overparen{A M B}}\left(\varphi(y) \mathrm{e}^{x}-m y\right) \mathrm{d} x+\left(\varphi^{\prime}(y) \mathrm{e}^{x}-m\right) \mathrm{d} y= \pm m s-\varphi(4) \mathrm{e}^{3}+\varphi(2) \mathrm{e}+8 m$ ．
（2）如图 9.50 所示，记 $P=f(y) \cos x-\pi y, Q=f^{\prime}(y) \sin x-\pi$ ，则
$$
P_{y}=f^{\prime}(y) \cos x-\pi, Q_{x}=f^{\prime}(y) \cos x
$$
在线段 $A B$ 上，$y=2, \mathrm{~d} y=0, x: \pi \rightarrow 3 \pi$ ．于是
$$
\int_{A B}(f(y) \cos x-\pi y) \mathrm{d} x+\left(f^{\prime}(y) \sin x-\pi\right) \mathrm{d} y=\int_{\pi}^{3 \pi}(f(2) \cos x-2 \pi) \mathrm{d} x=-4 \pi^{2}
$$
由格林公式得
$$
\int_{\overparen{A M B}}(f(y) \cos x-\pi y) \mathrm{d} x+\left(f^{\prime}(y) \sin x-\pi\right) \mathrm{d} y=\iint_{D} \pi \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y-4 \pi^{2}=-3 \pi^{2}
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-262.jpg?height=836&width=1541&top_left_y=4517&top_left_x=953}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.50}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-262.jpg?height=1085&width=1583&top_left_y=4282&top_left_x=3163}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图9．51}
\end{figure}
（3）如图 9.51 所示，记 $P=f(y) \cos x-\pi y, Q=f^{\prime}(y) \sin x-\pi$ ，则
$$
P_{y}=f^{\prime}(y) \cos x-\pi, Q_{x}=f^{\prime}(y) \cos x
$$
在线段 $A B$ 上，$\displaystyle y=2+\frac{1}{\pi}(x-\pi), x: \pi \rightarrow 3 \pi$ ．于是
$\displaystyle \int_{A B}(f(y) \cos x-\pi y) \mathrm{d} x+\left(f^{\prime}(y) \sin x-\pi\right) \mathrm{d} y=\left.(f(y) \sin x)\right|_{A} ^{B}-\pi \int_{\pi}^{3 \pi}\left[2+\frac{1}{\pi}(x-\pi)\right] \mathrm{d} x-\pi \int_{\pi}^{3 \pi} \frac{1}{\pi} \mathrm{~d} x=-6 \pi^{2}-2 \pi$.
由格林公式得
$$
\int_{\overparen{A M B}}(f(y) \cos x-\pi y) \mathrm{d} x+\left(f^{\prime}(y) \sin x-\pi\right) \mathrm{d} y=\iint_{D} \pi \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y-6 \pi^{2}-2 \pi=a \pi-6 \pi^{2}-2 \pi
$$
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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