下册 9.2 第二型曲线积分 第7题
📝 题目
7．计算下列第二型曲线积分．
（1） $\int_{L} x^{2} \mathrm{~d} y-y^{2} \mathrm{~d} x$ ，其中 $L$ 以 $(a, a)$ 为心，以 $a$ 为半径的圆周．
（2） $\int_{L} y \cos x \mathrm{~d} x+\left(x y^{2}+\sin x\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是圆周 $(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1$ 顺时针一周．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）如图9．52所示，不妨假设逆时针方向为正，由格林公式得
$$
\begin{aligned}
\int_{L} x^{2} \mathrm{~d} y-y^{2} \mathrm{~d} x & =\iint_{D}(2 x+2 y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=2 \iint_{D}[(x-a)+(y-a)] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+4 a \iint_{D} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
& =2 \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{a} r^{2}(\sin \theta+\cos \theta) \mathrm{d} r+4 \pi a^{3}=4 \pi a^{3} .
\end{aligned}
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-263.jpg?height=1009&width=1051&top_left_y=1906&top_left_x=1305}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.52}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-263.jpg?height=1016&width=1051&top_left_y=1899&top_left_x=3653}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.53}
\end{figure}
（2）如图9．53所示，利用格林公式得
$$
\begin{aligned}
& \int_{L} y \cos x \mathrm{~d} x+\left(x y^{2}+\sin x\right) \mathrm{d} y \\
& =-\iint_{D} y^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{D}[(y-1)+1]^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{D}\left[(y-1)^{2}+2(y-1)+1\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
& =-\iint_{D}\left[(y-1)^{2}+1\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{D}(y-1)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y-\iint_{D} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{1} r^{3} \sin ^{2} \theta \mathrm{~d} r-\pi=-\frac{5}{4} \pi .
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：确定积分路径方向并应用格林公式
对于第一问，圆周以$(a,a)$为心，半径为$a$，取逆时针方向为正方向。应用格林公式：
$$\int_L x^2 dy - y^2 dx = \iint_D \left(\frac{\partial (x^2)}{\partial x} - \frac{\partial (-y^2)}{\partial y}\right) dxdy = \iint_D (2x + 2y) dxdy.$$
公式：格林公式：$\int_L Pdx+Qdy = \iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) dxdy$
提示：注意格林公式中$P$和$Q$的对应关系，以及正方向的规定（逆时针为正）。
步骤 2/8
目标：将积分转化为关于圆心坐标的形式
令$x = a + r\cos\theta$, $y = a + r\sin\theta$，则积分区域$D$为圆盘$(x-a)^2+(y-a)^2 \leq a^2$。将$2x+2y$改写为$2[(x-a)+(y-a)] + 4a$，于是
$$\iint_D (2x+2y) dxdy = 2\iint_D [(x-a)+(y-a)] dxdy + 4a\iint_D dxdy.$$
提示：注意平移变换后，积分区域对称性可能简化计算。
步骤 3/8
目标：利用对称性计算第一项积分
由于区域$D$关于直线$x=a$和$y=a$对称，且$(x-a)$和$(y-a)$是奇函数，故
$$\iint_D (x-a) dxdy = 0, \quad \iint_D (y-a) dxdy = 0,$$
所以第一项为$0$。
提示：对称性：若区域关于某轴对称，被积函数为奇函数则积分值为0。
步骤 4/8
目标：计算第二项积分（区域面积）
第二项$4a \iint_D dxdy = 4a \cdot \text{Area}(D) = 4a \cdot \pi a^2 = 4\pi a^3$。
公式：圆面积公式：$\pi r^2$
提示：注意半径是$a$，不要误用直径。
步骤 5/8
目标：得出第一问结果
因此，
$$\int_L x^2 dy - y^2 dx = 4\pi a^3.$$
步骤 6/8
目标：第二问：确定方向并应用格林公式
第二问中$L$是圆周$(x-1)^2+(y-1)^2=1$顺时针一周。顺时针方向为负方向，应用格林公式时需加负号：
$$\int_L y\cos x dx + (xy^2+\sin x) dy = -\iint_D \left(\frac{\partial (xy^2+\sin x)}{\partial x} - \frac{\partial (y\cos x)}{\partial y}\right) dxdy = -\iint_D y^2 dxdy.$$
公式：格林公式（注意方向）：顺时针时$\int_L = -\iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) dxdy$
提示：注意顺时针方向要加负号，且正确计算偏导数。
步骤 7/8
目标：平移变换并展开被积函数
令$u=x-1$, $v=y-1$，则区域$D$变为圆盘$u^2+v^2 \leq 1$。被积函数$y^2 = (v+1)^2 = v^2 + 2v + 1$。于是
$$-\iint_D y^2 dxdy = -\iint_{D'} (v^2 + 2v + 1) du dv.$$
提示：注意雅可比行列式为1，面积元不变。
步骤 8/8
目标：利用对称性和极坐标计算积分
由于$D'$关于$v=0$对称，$2v$为奇函数，故$\iint_{D'} 2v du dv = 0$。剩下两项：
$$-\iint_{D'} v^2 du dv - \iint_{D'} 1 du dv.$$
第一项用极坐标：$v = r\sin\theta$，$du dv = r dr d\theta$，
$$\iint_{D'} v^2 du dv = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 r^2 \sin^2\theta \cdot r dr = \int_0^{2\pi} \sin^2\theta d\theta \int_0^1 r^3 dr = \pi \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi}{4}.$$
第二项为区域面积$\pi$。所以原积分 = $-\frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{5\pi}{4}$。
公式：极坐标：$\iint_D f(r\cos\theta, r\sin\theta) r dr d\theta$
提示：注意$\int_0^{2\pi} \sin^2\theta d\theta = \pi$，$\int_0^1 r^3 dr = 1/4$。
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