下册 9.2 第二型曲线积分 第8题
📝 题目
8．计算曲线积分．
（1） $\int_{L} x y^{2} \mathrm{~d} y-x^{2} y \mathrm{~d} x$ ，其中 $L$ 为以 $a$ 为半径，圆心在原点的右半圆周从点 $A(0, a)$ 到点 $B(a, 0)$的一段。
（2） $\int_{L} x y^{2} \mathrm{~d} y-x^{2} y \mathrm{~d} x$ ，其中 $L$ 为 $x^{2}+y^{2}=a^{2}(a>0)$ ，逆时针方向。
（3） $\int_{L}\left(1+y^{2}\right) x \mathrm{~d} y+\left(1-x^{2}\right) y \mathrm{~d} x$ ，其中 $L: x^{2}+y^{2}=a^{2}$ ，逆时针方向．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）如图 9.54 所示，方法 1：$L$ 的参数方程为：$x=a \cos \theta, y=a \sin \theta$ ．在起点 $A(0, a)$ 处参数值取 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ，在终点 $B(a, 0)$ 处参数值相应取 0 ．于是
$$
\begin{aligned}
\int_{L} x y^{2} \mathrm{~d} y-x^{2} y \mathrm{~d} x & =\int_{0}^{-\frac{\pi}{2}} a \cos \theta \cdot(a \sin \theta)^{2} \mathrm{~d}(a \sin \theta)-(a \cos \theta)^{2} a \sin \theta \mathrm{~d}(a \cos \theta) \\
& =2 a^{4} \int_{0}^{-\frac{\pi}{2}} \sin ^{2} \theta \cos ^{2} \theta \mathrm{~d} \theta=-\frac{\pi}{8} a^{4} .
\end{aligned}
$$
方法 2：补直线段 $L_{1}: y=0, x: a \rightarrow 0 ; L_{2}: x=0, y: 0 \rightarrow a$ ，则 $L+L_{1}+L_{2}$ 为闭曲线，顺时针方向，围成的区域记为 $D$ 。由格林公式得
$$
\oint_{L+L_{1}+L_{2}} x y^{2} \mathrm{~d} y-x^{2} y \mathrm{~d} x=-\iint_{D}\left(y^{2}+x^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{a} r^{2} r \mathrm{~d} r=-\frac{\pi}{8} a^{4} .
$$
又 $\int_{L_{1}} x y^{2} \mathrm{~d} y-x^{2} y \mathrm{~d} x=\int_{L_{1}}-0 \mathrm{~d} x=0, \int_{L_{2}} x y^{2} \mathrm{~d} y-x^{2} y \mathrm{~d} x=\int_{L_{1}} 0 \mathrm{~d} y=0$ ．于是 $\displaystyle \int_{L} x y^{2} \mathrm{~d} y-x^{2} y \mathrm{~d} x=-\frac{\pi}{8} a^{4}$ ．
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-264.jpg?height=1044&width=988&top_left_y=842&top_left_x=1243}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.54}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-264.jpg?height=1092&width=1065&top_left_y=801&top_left_x=3515}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.55}
\end{figure}
（2）如图9．55所示，记 $D$ 是圆域 $x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}, P=-x^{2} y, Q=x y^{2}$ ，则 $P_{y}=-x^{2}, Q_{x}=y^{2}$ ．由格林公式得
$$
\oint_{C} x y^{2} \mathrm{~d} y-x^{2} y \mathrm{~d} x=\iint_{D}\left(y^{2}+x^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{a} r^{2} r \mathrm{~d} r=\frac{\pi}{2} a^{4} .
$$
（3）由格林公式得 $\displaystyle \int_{L}\left(1+y^{2}\right) x \mathrm{~d} y+\left(1-x^{2}\right) y \mathrm{~d} x=\iint_{D}\left(y^{2}+x^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{a} r^{3} \mathrm{~d} r=\frac{1}{2} \pi a^{4}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：第(1)问：参数化曲线并计算积分
曲线 $L$ 是右半圆周，从 $A(0,a)$ 到 $B(a,0)$。参数方程为 $x=a\cos\theta$, $y=a\sin\theta$，起点 $\theta=\pi/2$，终点 $\theta=0$。则 $\mathrm{d}x=-a\sin\theta\,\mathrm{d}\theta$, $\mathrm{d}y=a\cos\theta\,\mathrm{d}\theta$。代入积分：
$$\int_L xy^2\,\mathrm{d}y - x^2y\,\mathrm{d}x = \int_{\pi/2}^0 a\cos\theta\cdot a^2\sin^2\theta\cdot a\cos\theta\,\mathrm{d}\theta - a^2\cos^2\theta\cdot a\sin\theta\cdot(-a\sin\theta)\,\mathrm{d}\theta$$
$$= \int_{\pi/2}^0 a^4\cos^2\theta\sin^2\theta + a^4\cos^2\theta\sin^2\theta\,\mathrm{d}\theta = 2a^4\int_{\pi/2}^0 \sin^2\theta\cos^2\theta\,\mathrm{d}\theta$$
$$= 2a^4\int_{\pi/2}^0 \frac{1}{4}\sin^2 2\theta\,\mathrm{d}\theta = \frac{a^4}{2}\int_{\pi/2}^0 \frac{1-\cos4\theta}{2}\,\mathrm{d}\theta = \frac{a^4}{4}\left[\theta-\frac{\sin4\theta}{4}\right]_{\pi/2}^0 = -\frac{\pi}{8}a^4.$$
公式：参数化曲线积分公式：$\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y = \int_\alpha^\beta [P(x(\theta),y(\theta))x'(\theta)+Q(x(\theta),y(\theta))y'(\theta)]\,\mathrm{d}\theta$
提示：注意积分上下限：起点对应 $\theta=\pi/2$，终点对应 $\theta=0$，所以积分限是从 $\pi/2$ 到 $0$，结果会带负号。
步骤 2/4
目标：第(1)问：利用格林公式（补线法）
补直线段 $L_1: y=0, x: a\to 0$ 和 $L_2: x=0, y: 0\to a$，则 $L+L_1+L_2$ 构成顺时针闭曲线，围成区域 $D$（四分之一圆）。由格林公式（注意顺时针方向取负号）：
$$\oint_{L+L_1+L_2} xy^2\,\mathrm{d}y - x^2y\,\mathrm{d}x = -\iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = -\iint_D (y^2 + x^2)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$
在极坐标下：$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$，$\mathrm{d}x\mathrm{d}y=r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$，$D: 0\le r\le a, 0\le\theta\le\pi/2$。则
$$-\iint_D (x^2+y^2)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = -\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\int_0^a r^2\cdot r\,\mathrm{d}r = -\frac{\pi}{2}\cdot\frac{a^4}{4} = -\frac{\pi}{8}a^4.$$
又 $\int_{L_1} xy^2\,\mathrm{d}y - x^2y\,\mathrm{d}x = \int_{L_1} 0\,\mathrm{d}x = 0$（因为 $y=0$ 时 $\mathrm{d}y=0$，$x^2y=0$），$\int_{L_2} xy^2\,\mathrm{d}y - x^2y\,\mathrm{d}x = \int_{L_2} 0\,\mathrm{d}y = 0$（因为 $x=0$ 时 $\mathrm{d}x=0$，$xy^2=0$）。所以原积分 $= -\frac{\pi}{8}a^4$。
公式：格林公式：$\oint_{\partial D} P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，注意方向：顺时针取负。
提示：补线时注意方向：$L_1$ 从 $B(a,0)$ 到 $A(0,a)$ 的直线段？实际补线是 $L_1: y=0, x: a\to 0$（从 $B$ 到 $O$），$L_2: x=0, y: 0\to a$（从 $O$ 到 $A$），这样 $L+L_1+L_2$ 是顺时针。另外，计算补线上的积分要小心，$L_1$ 上 $y=0$ 所以 $\mathrm{d}y=0$，$x^2y=0$，故积分为0；$L_2$ 上 $x=0$ 所以 $\mathrm{d}x=0$，$xy^2=0$，积分为0。
步骤 3/4
目标：第(2)问：直接应用格林公式
曲线 $L$ 是圆 $x^2+y^2=a^2$ 逆时针方向，围成区域 $D$ 为圆盘。令 $P=-x^2y$, $Q=xy^2$，则 $\frac{\partial P}{\partial y} = -x^2$, $\frac{\partial Q}{\partial x} = y^2$。由格林公式：
$$\oint_L xy^2\,\mathrm{d}y - x^2y\,\mathrm{d}x = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iint_D (y^2 + x^2)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$
在极坐标下：$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$，$\mathrm{d}x\mathrm{d}y=r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$，$D: 0\le r\le a, 0\le\theta\le 2\pi$。则
$$\iint_D (x^2+y^2)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^a r^2\cdot r\,\mathrm{d}r = 2\pi \cdot \frac{a^4}{4} = \frac{\pi}{2}a^4.$$
公式：格林公式：$\oint_{\partial D} P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
提示：注意格林公式要求曲线是逆时针方向，本题正是逆时针，所以直接取正号。计算二重积分时，被积函数 $x^2+y^2$ 在极坐标下为 $r^2$，面积元为 $r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$，所以被积函数为 $r^3$。
步骤 4/4
目标：第(3)问：应用格林公式
曲线 $L$ 是圆 $x^2+y^2=a^2$ 逆时针方向，围成区域 $D$ 为圆盘。令 $P=(1-x^2)y$, $Q=(1+y^2)x$，则 $\frac{\partial P}{\partial y} = 1-x^2$, $\frac{\partial Q}{\partial x} = 1+y^2$。由格林公式：
$$\oint_L (1+y^2)x\,\mathrm{d}y + (1-x^2)y\,\mathrm{d}x = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iint_D [(1+y^2) - (1-x^2)]\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iint_D (x^2+y^2)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$
在极坐标下：$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$，$\mathrm{d}x\mathrm{d}y=r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$，$D: 0\le r\le a, 0\le\theta\le 2\pi$。则
$$\iint_D (x^2+y^2)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^a r^2\cdot r\,\mathrm{d}r = 2\pi \cdot \frac{a^4}{4} = \frac{\pi}{2}a^4.$$
公式：格林公式：$\oint_{\partial D} P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
提示：注意被积函数中 $\mathrm{d}y$ 和 $\mathrm{d}x$ 的系数：$Q=(1+y^2)x$, $P=(1-x^2)y$。计算偏导时小心：$\frac{\partial Q}{\partial x}=1+y^2$, $\frac{\partial P}{\partial y}=1-x^2$，相减得 $x^2+y^2$。
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