下册 9.2 第二型曲线积分 第10题
📝 题目
10．计算下列第二型曲线积分．
（1） $\int_{c} x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x$ ，其中 $C$ 为椭圆 $(x+2 y)^{2}+(3 x+2 y)^{2}=1$ ，方向为逆时针方向．
（2）$\oint_{L}(x+y) \mathrm{d} x-(x-y) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 为椭圆周 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ．
（3）$\oint_{L}\left(x^{2}-2 y\right) \mathrm{d} x+\left(3 x+y \mathrm{e}^{y}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 为由直线 $y=0, x+2 y=2$ 及圆弧 $x^{2}+y^{2}=1 (x \leqslant 0, y \geqslant 0)$ 所围区域 $D$ 的边界，积分方向取关于区域 $D$ 的正向．
（4） $\int_{L} x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x$ ，其中 $L: x^{2 n+1}+y^{2 n+1}=a x^{n} y^{n}, x>0, y>0$ ，逆时针方向。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由格林公式知 $\int_{C} x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x=\iint_{D} 2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。令 $x+2 y=s, 3 x+2 y=t$ ，则椭圆区域 $(x+2 y)^{2}+(3 x+2 y)^{2} \leqslant 1$ 变成 $D^{\prime}: s^{2}+t^{2} \leqslant 1$ ，且 $\displaystyle \frac{\partial(s, t)}{\partial(x, y)}=-4$ ．于是
$$
\int_{C} x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x=2 \iint_{D} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\frac{1}{2} \iint_{D^{\prime}} \mathrm{d} s \mathrm{~d} t=\frac{1}{2} \pi
$$
（2）如图 9.58 所示，设闭曲线 $L$ 所围成闭区域为 $D$ ，不妨设逆时针方向为正．由格林公式得
$$
\oint_{L}(x+y) \mathrm{d} x-(x-y) \mathrm{d} y=\iint_{D}(-1-1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-2 \iint_{D} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-2 a b \pi
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-266.jpg?height=1086&width=1134&top_left_y=1284&top_left_x=897}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.58}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-266.jpg?height=810&width=1624&top_left_y=1560&top_left_x=2983}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.59}
\end{figure}
（3）如图9．59所示，记 $P=x^{2}-2 y, Q=3 x+y \mathrm{e}^{y}$ ，则 $P_{y}=-2, Q_{x}=3$ 。由格林公式得
$$
\oint_{L}\left(x^{2}-2 y\right) \mathrm{d} x+\left(3 x+y \mathrm{e}^{y}\right) \mathrm{d} y=5 \iint_{D} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=5\left(\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2+\frac{1}{4} \pi\right)=5\left(1+\frac{\pi}{4}\right) .
$$
（4）记 $I=\int_{L} x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x$ 。令 $x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$ ，则 $\displaystyle r=a \frac{\cos ^{n} \theta \sin ^{n} \theta}{\cos ^{2 n+1} \theta+\sin ^{2 n+1} \theta}$ ．于是
$$
I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} r^{2} \mathrm{~d} \theta=a^{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{\cos ^{n} \theta \sin ^{n} \theta}{\cos ^{2 n+1} \theta+\sin ^{2 n+1} \theta}\right)^{2} \mathrm{~d} \theta
$$
令 $t=\tan \theta$ ，则
$\displaystyle I=a^{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{\cos ^{2 n} \theta \tan ^{n} \theta}{\cos ^{2 n+1} \theta\left(1+\tan ^{2 n+1} \theta\right)}\right)^{2} \mathrm{~d} \theta=a^{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{\tan ^{n} \theta}{1+\tan ^{2 n+1} \theta}\right)^{2} \mathrm{~d} \tan \theta=a^{2} \int_{0}^{+\infty}\left(\frac{t^{n}}{1+\mathrm{t}^{2 n+1}}\right)^{2} \mathrm{~d} t=\frac{a^{2}}{2 n+1}$.
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。