下册 9.2 第二型曲线积分 第11题
📝 题目
11．计算曲线积分 $I=\int_{L}\left(12 x y+\mathrm{e}^{y}\right) \mathrm{d} x-\left(\cos y-x \mathrm{e}^{y}\right) \mathrm{d} y$ ，其中
（1）$L$ 为由点 $A(-1,1)$ 沿曲线 $y=x^{2}$ 到原点 $O$ ，再沿 $O x$ 轴到点 $B(2,0)$ 的路径．
（2）$L$ 为从点 $A(-1,1)$ 沿曲线 $y=x^{2}$ 到原点 $O(0,0)$ ，再沿 $x$ 轴到点 $B(3,0)$ 的路径。
（3）$L$ 为由点 $A(-1,1)$ 沿曲线 $y=1-\sqrt{1-x^{2}}$ 到原点 $O(0,0)$ ，再沿直线 $y=0$ 到点 $B(1,0)$ 的路径。
💡 答案解析
解题过程：
$$
I=\int_{L}\left(12 x y+\mathrm{e}^{y}\right) \mathrm{d} x-\left(\cos y-x \mathrm{e}^{y}\right) \mathrm{d} y=\int_{L} \mathrm{e}^{y} \mathrm{~d} x+x \mathrm{e}^{y} \mathrm{~d} y+12 \int_{L} x y \mathrm{~d} x-\int_{L} \cos y \mathrm{~d} y .
$$
（1）如图9．60所示，
$$
I=\left.\left(\mathrm{e}^{y} x\right)\right|_{(-1,1)} ^{(2,0)}-\left.(\sin y)\right|_{(-1,1)} ^{(2,0)}+12 \int_{-1}^{0} x^{3} \mathrm{~d} x=2+\mathrm{e}+\sin 1-3=\mathrm{e}+\sin 1-1
$$
（2）如图 9.60 所示，
$$
I=\left.\left(\mathrm{e}^{y} x\right)\right|_{(-1,1)} ^{(3,0)}-\left.(\sin y)\right|_{(-1,1)} ^{(3,0)}+12 \int_{-1}^{0} x^{3} \mathrm{~d} x=3+\mathrm{e}+\sin 1-3=\mathrm{e}+\sin 1
$$
\begin{figure}
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\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.60}
\end{figure}
\begin{figure}
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\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.61}
\end{figure}
（3）如图 9.61 所示，
$$
I=\left.\left(\mathrm{e}^{y} x\right)\right|_{(-1,1)} ^{(1,0)}-\left.(\sin y)\right|_{(-1,1)} ^{(1,0)}+12 \int_{-1}^{0} x\left(1-\sqrt{1-x^{2}}\right) \mathrm{d} x=1+\mathrm{e}+\sin 1-2=\mathrm{e}+\sin 1-1 .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：拆分积分表达式
将原积分拆分为三个部分：
$$I = \int_L e^y dx + x e^y dy + 12 \int_L xy dx - \int_L \cos y dy$$
提示：注意符号：原积分中第二项为 $-\cos y dy$，拆开后第三项为 $-\int_L \cos y dy$。
步骤 2/7
目标：应用格林公式或直接积分
注意到第一项 $\int_L e^y dx + x e^y dy$ 是恰当微分 $d(x e^y)$，因此其积分与路径无关，只与端点有关：
$$\int_L d(x e^y) = x e^y \Big|_{起点}^{终点}$$
公式：$d(x e^y) = e^y dx + x e^y dy$
提示：验证恰当性：$\frac{\partial}{\partial y}(e^y) = e^y$，$\frac{\partial}{\partial x}(x e^y) = e^y$，相等。
步骤 3/7
目标：处理第二项积分
第二项 $12 \int_L xy dx$ 需要沿路径积分。对于每个子问题，路径由两段组成：第一段沿曲线 $y=x^2$ 从 $A$ 到 $O$，第二段沿 $x$ 轴从 $O$ 到 $B$。在 $x$ 轴上 $y=0$，故 $xy=0$，积分贡献为0。因此只需计算第一段：
$$12 \int_{L_1} xy dx = 12 \int_{-1}^{0} x \cdot x^2 dx = 12 \int_{-1}^{0} x^3 dx$$
提示：注意积分限：从 $x=-1$ 到 $x=0$。
步骤 4/7
目标：处理第三项积分
第三项 $-\int_L \cos y dy$ 是恰当微分 $d(-\sin y)$，因此积分与路径无关：
$$-\int_L \cos y dy = -\sin y \Big|_{起点}^{终点}$$
公式：$d(-\sin y) = -\cos y dy$
提示：注意符号：原积分中第三项为 $-\cos y dy$，其原函数为 $-\sin y$。
步骤 5/7
目标：计算子问题(1)的积分
路径：$A(-1,1)$ 沿 $y=x^2$ 到 $O(0,0)$，再沿 $x$ 轴到 $B(2,0)$。
第一项：$x e^y \Big|_{(-1,1)}^{(2,0)} = 2 \cdot e^0 - (-1) \cdot e^1 = 2 + e$。
第三项：$-\sin y \Big|_{(-1,1)}^{(2,0)} = -\sin 0 + \sin 1 = \sin 1$。
第二项：$12 \int_{-1}^{0} x^3 dx = 12 \cdot \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{-1}^{0} = 12 \cdot (0 - \frac{1}{4}) = -3$。
总和：$I = (2+e) + \sin 1 - 3 = e + \sin 1 - 1$。
提示：注意端点代入顺序：终点减起点。
步骤 6/7
目标：计算子问题(2)的积分
路径：$A(-1,1)$ 沿 $y=x^2$ 到 $O(0,0)$，再沿 $x$ 轴到 $B(3,0)$。
第一项：$x e^y \Big|_{(-1,1)}^{(3,0)} = 3 \cdot e^0 - (-1) \cdot e^1 = 3 + e$。
第三项：$-\sin y \Big|_{(-1,1)}^{(3,0)} = -\sin 0 + \sin 1 = \sin 1$。
第二项：与(1)相同，为 $-3$。
总和：$I = (3+e) + \sin 1 - 3 = e + \sin 1$。
提示：注意B点坐标变化，第一项结果不同。
步骤 7/7
目标：计算子问题(3)的积分
路径：$A(-1,1)$ 沿曲线 $y=1-\sqrt{1-x^2}$ 到 $O(0,0)$，再沿 $x$ 轴到 $B(1,0)$。
第一项：$x e^y \Big|_{(-1,1)}^{(1,0)} = 1 \cdot e^0 - (-1) \cdot e^1 = 1 + e$。
第三项：$-\sin y \Big|_{(-1,1)}^{(1,0)} = -\sin 0 + \sin 1 = \sin 1$。
第二项：沿曲线 $y=1-\sqrt{1-x^2}$ 从 $x=-1$ 到 $x=0$ 积分：
$$12 \int_{-1}^{0} x \left(1-\sqrt{1-x^2}\right) dx = 12 \left( \int_{-1}^{0} x dx - \int_{-1}^{0} x \sqrt{1-x^2} dx \right)$$。
计算：$\int_{-1}^{0} x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} = -\frac{1}{2}$。
$\int_{-1}^{0} x \sqrt{1-x^2} dx$，令 $u=1-x^2$，$du=-2x dx$，当 $x=-1$ 时 $u=0$，$x=0$ 时 $u=1$，则积分 $= \int_{0}^{1} \sqrt{u} \cdot (-\frac{1}{2}) du = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} \Big|_0^1 = -\frac{1}{3}$。
因此第二项 $= 12 \left( -\frac{1}{2} - (-\frac{1}{3}) \right) = 12 \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) = 12 \cdot (-\frac{1}{6}) = -2$。
总和：$I = (1+e) + \sin 1 - 2 = e + \sin 1 - 1$。
提示：注意曲线方程不同，第二项积分需仔细计算，特别是换元法。
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