下册 9.2 第二型曲线积分 第12题
📝 题目
12．计算下列曲线积分．
（1）$\oint_{\Gamma}(x+y)^{2} \mathrm{~d} x-\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\Gamma$ 为依正方向以 $A(1,1), B(3,2), C(2,5)$ 为顶点的三角形三边围成的闭曲线。
（2） $\int_{L}\left(2 x y^{3}-y^{2} \cos x\right) \mathrm{d} x+\left(1-2 y \sin x+3 x^{2} y^{2}+x\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 为由点 $A(0,0)$ 沿曲线 $2 x=\pi y^{2}$ 到点 $\displaystyle B\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ 的路径．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）如图9．62所示，设 $P=(x+y)^{2}, Q=-\left(x^{2}+y^{2}\right)$ ，则 $Q_{x}-P_{y}=-2 x-2(x+y)=-4 x-2 y$ 。由格林公式知
$$
\begin{aligned}
\int_{\Gamma}(x+y)^{2} \mathrm{~d} x-\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} y & =\iint_{D}(-4 x-2 y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
& =-2 \int_{1}^{2} \mathrm{~d} x \int_{\frac{1}{2}(x+1)}^{4 x-3}(2 x+y) \mathrm{d} y-2 \int_{2}^{3} \mathrm{~d} x \int_{\frac{1}{2}(x+1)}^{11-3 x}(2 x+y) \mathrm{d} y \\
& =\int_{1}^{2}\left(-\frac{119}{4} x^{2}+\frac{77}{2} x-\frac{35}{2}\right) \mathrm{d} x+\int_{2}^{3}\left(\frac{21}{4} x^{2}+\frac{49}{2} x-\frac{483}{4}\right) \mathrm{d} x=-46 \frac{2}{3}
\end{aligned}
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-267.jpg?height=1824&width=1390&top_left_y=5622&top_left_x=1339}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.62}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-267.jpg?height=975&width=816&top_left_y=6478&top_left_x=3923}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.63}
\end{figure}
（2）如图9．63所示，因
$$
\int_{L}\left(2 x y^{3}-y^{2} \cos x\right) \mathrm{d} x+\left(1-2 y \sin x+3 x^{2} y^{2}\right) \mathrm{d} y=\left.\left(x^{2} y^{3}-y^{2} \sin x+y\right)\right|_{(0,0)} ^{\left(\frac{\pi}{2} \cdot 1\right)}=\frac{\pi^{2}}{4}
$$
$$
\int_{L} x \mathrm{~d} y=\int_{0}^{1} \frac{\pi}{2} y^{2} \mathrm{~d} y=\frac{\pi}{6},
$$
所以
$$
\int_{L}\left(2 x y^{3}-y^{2} \cos x\right) \mathrm{d} x+\left(1-2 y \sin x+3 x^{2} y^{2}+x\right) \mathrm{d} y=\frac{\pi^{2}}{4}+\frac{\pi}{6}
$$
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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