下册 9.2 第二型曲线积分 第17题
📝 题目
17．计算下列第二型曲线积分．
（1） $\int_{L}\left(x^{3}-x y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(y^{3}-x^{2} y\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是 $\displaystyle y=\frac{1}{1+x^{2}}$ 从点 $A(0,1)$ 到 $\displaystyle B\left(1, \frac{1}{2}\right)$ 的弧段。武汉理工 2006）
（2） $\int_{L} \mathrm{e}^{x y}\left(x y^{2} \mathrm{~d} x+y x^{2} \mathrm{~d} y\right)$ ，其中 $L$ 为半圆周 $y=1+\sqrt{1-x^{2}}$ ，从点 $(1,1)$ 到点 $(-1,1)$ ．
（3）$\oint_{L} f(\sin x+\sin y)(\cos x \mathrm{~d} x+\cos y \mathrm{~d} y)$ ，其中 $f(u)$ 为连续函数，$L$ 为分段光滑的简单闭曲线．
（4） $\displaystyle \int_{C} \frac{y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}}$ ，其中 $C$ 为曲线 $\displaystyle x=\cos ^{3} t, y=\sin ^{3} t\left(0 \leqslant t \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$ 的一段．
（5） $\int_{L} \mathrm{e}^{x} \cos y \mathrm{~d} y+\mathrm{e}^{x} \sin y \mathrm{~d} x$ ，其中 $L$ 为半圆周 $y=\sqrt{1-x^{2}}$ 从点 $(1,0)$ 到点 $(-1,0)$ 的一段．
分析：曲线积分与路径无关．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由于 $\displaystyle \mathrm{d}\left(\frac{1}{4} x^{4}-\frac{1}{2} x^{2} y^{2}+\frac{1}{4} y^{4}\right)=\left(x^{3}-x y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(y^{3}-x^{2} y\right) \mathrm{d} y$ ，所以曲线积分与路径无关，且有
$$
\int_{L}\left(x^{3}-x y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(y^{3}-x^{2}-y\right) \mathrm{d} y=\left.\left(\frac{1}{4} x^{4}-\frac{1}{2} x^{2} y^{2}+\frac{1}{4} y^{4}\right)\right|_{(0.1)} ^{\left(1, \frac{1}{2}\right)}=-\frac{7}{64} .
$$
（2）记 $P=x y^{2} \mathrm{e}^{x y}, Q=y x^{2} \mathrm{e}^{x y}$ ，则 $P_{y}=2 x y \mathrm{e}^{x y}+x^{2} y^{2} \mathrm{e}^{x y}=Q_{x}$ 。于是积分与路线无关，且有
$$
\int_{L} \mathrm{e}^{x y}\left(x y^{2} \mathrm{~d} x+y x^{2} \mathrm{~d} y\right)=\int_{1}^{-1} x \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x=\left.\left(x \mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{x}\right)\right|_{1} ^{-1}=-\frac{2}{\mathrm{e}} .
$$
（3）设 $F(u)$ 为 $f(u)$ 的一个原函数，则 $\mathrm{d} F(\sin x+\sin y)=f(\sin x+\sin y)(\cos x \mathrm{~d} x+\cos y \mathrm{~d} y)$ ．所以积分与路线无关，且
$$
\oint_{L} f(\sin x+\sin y)(\cos x \mathrm{~d} x+\cos y \mathrm{~d} y)=F(\sin x+\sin y)+C \text {, 其中 } C \text { 为常数. }
$$
（4）记 $\displaystyle P=\frac{x}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}}, Q=\frac{y}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}}$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}=-3 x y\left(x^{2}+y^{2}\right)^{-\frac{5}{2}}$ 。故当路径不过原点时，该曲线积分与路径无关。取单位圆在第一象的部分圆弧，则
$$
\int_{C} \frac{y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}[\sin t(-\sin t)+\cos t \cos t] \mathrm{d} t=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2 t \mathrm{~d} t=0
$$
（5） $\int_{L} \mathrm{e}^{x} \cos y \mathrm{~d} y+\mathrm{e}^{x} \sin y \mathrm{~d} x=\int_{L} \mathrm{~d}\left(\mathrm{e}^{x} \sin y\right)=\left.\left(\mathrm{e}^{x} \sin y\right)\right|_{(1.0)} ^{(-1.0)}=0$ ．
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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