下册 9.2 第二型曲线积分 第18题
📝 题目
18．设 $L$ 是 $x y$ 平面上的任意闭曲线，$L$ 所围成的面积为 $S$ ，且在曲线 $L$ 上满足条件 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=-\frac{\mathrm{e}^{y}+2 x+3 y}{\mathrm{e}^{x}+x+y}$ ．试求 $\int_{L} \mathrm{e}^{y} \mathrm{~d} x+\mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} y$ ，其中 $L$ 取逆时针方向．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由已知得 $\mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} y+\mathrm{e}^{y} \mathrm{~d} x=-[(2 x+3 y) \mathrm{d} x+(x+y) \mathrm{d} y]$ ．于是
$$
\int_{L} \mathrm{e}^{y} \mathrm{~d} x+\mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} y=-\int_{L}(2 x+3 y) \mathrm{d} x+(x+y) \mathrm{d} y=-\iint_{D}(1-3) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=2 S
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：整理已知条件
已知曲线 $L$ 上满足 $\frac{dy}{dx} = -\frac{e^y + 2x + 3y}{e^x + x + y}$。将微分形式改写为 $(e^x + x + y)dy = -(e^y + 2x + 3y)dx$，即 $e^x dy + e^y dx = -(2x+3y)dx - (x+y)dy$。
公式：$\frac{dy}{dx} = -\frac{e^y + 2x + 3y}{e^x + x + y}$
提示：注意将导数关系转化为微分形式时，两边要同时乘以 $dx$，并整理各项。
步骤 2/5
目标：建立曲线积分关系
由上式得 $e^y dx + e^x dy = -[(2x+3y)dx + (x+y)dy]$。因此，所求积分 $\int_L e^y dx + e^x dy = -\int_L (2x+3y)dx + (x+y)dy$。
公式：$e^y dx + e^x dy = -[(2x+3y)dx + (x+y)dy]$
提示：注意等式两边积分时，负号要保留。
步骤 3/5
目标：应用格林公式
设 $P = 2x+3y$, $Q = x+y$，则 $\frac{\partial Q}{\partial x} = 1$, $\frac{\partial P}{\partial y} = 3$。由格林公式，$\int_L (2x+3y)dx + (x+y)dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dxdy = \iint_D (1-3) dxdy = -2 \iint_D dxdy$，其中 $D$ 为 $L$ 所围区域。
公式：格林公式：$\oint_L Pdx+Qdy = \iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) dxdy$
提示：注意格林公式中 $L$ 取逆时针方向，本题已满足。计算偏导数时不要混淆 $P$ 和 $Q$。
步骤 4/5
目标：计算面积
区域 $D$ 的面积为 $S$，即 $\iint_D dxdy = S$。因此 $\int_L (2x+3y)dx + (x+y)dy = -2S$。
公式：$\iint_D dxdy = S$
提示：面积 $S$ 为已知条件，直接代入。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
代入原积分：$\int_L e^y dx + e^x dy = -(-2S) = 2S$。
提示：注意负负得正，最终结果为 $2S$。
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