下册 9.2 第二型曲线积分 第19题
📝 题目
19．设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，求 $\displaystyle \int_{L}\left(\frac{1+y^{2} f(x y)}{y}\right) \mathrm{d} x+\frac{x}{y^{2}}\left(y^{2} f(x y)-1\right) \mathrm{d} y$ ，其中
（1）$L$ 为从点 $\displaystyle A\left(3, \frac{2}{3}\right)$ 到点 $B(1,2)$ 的任何分段光滑曲线（不含 $y=0$ 的点）．
（2）$L$ 为从点 $A(2,3)$ 到点 $B(3,2)$ 的任何分段光滑曲线（不含 $y=0$ 的点）．
（3）$L$ 为上半平面 $y>0$ 内的有向分段光滑曲线，起点为 $A(a, b)$ ，终点为 $B(c, d) .(a b=c d)$ ．
提示：被积函数两部分有关联，且 $f$ 可导，考虑积分与路径无关．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
记 $\displaystyle P=\frac{1+y^{2} f(x y)}{y}, Q=\frac{x}{y^{2}}\left(y^{2} f(x y)-1\right)$ ，则当 $y \neq 0$ 时，$\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{y^{2} f(x y)+x y^{3} f^{\prime}(x y)-1}{y^{2}}=\frac{\partial Q}{\partial x}$ ．因此只要路径不过 $x$ 轴，点 $A$ 到点 $B$ 的曲线积分与路径无关．
（1）如图 9.77 所示，取路径 $\displaystyle A\left(3, \frac{2}{3}\right) \rightarrow C\left(1, \frac{2}{3}\right) \rightarrow B(1,2)$ ．
$$
\begin{aligned}
\text { 原式 } & =\frac{3}{2} \int_{1}^{1}\left(1+\frac{4}{9} f\left(\frac{2}{3} x\right)\right) \mathrm{d} x+\int_{\frac{2}{3}}^{2} \frac{1}{y^{2}}\left(y^{2} f(y)-1\right) \mathrm{d} y \\
& =\frac{3}{2} \int_{3}^{1} \mathrm{~d} x+\frac{2}{3} \int_{3}^{1} f\left(\frac{2}{3} x\right) \mathrm{d} x+\int_{\frac{2}{3}}^{2} f(y) \mathrm{d} y-\int_{\frac{2}{3}}^{2} \frac{1}{y^{2}} \mathrm{~d} y \\
& =\frac{3}{2}(1-3)+\int_{2}^{\frac{2}{3}} f(y) \mathrm{d} y+\int_{\frac{2}{3}}^{2} f(y) \mathrm{d} y+\left.\frac{1}{y}\right|_{\frac{2}{3}} ^{2}=-4 .
\end{aligned}
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-276.jpg?height=885&width=1244&top_left_y=6174&top_left_x=1001}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.77}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-276.jpg?height=1245&width=1286&top_left_y=5808&top_left_x=3370}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.78}
\end{figure}
（2）如图 9.78 所示，取路径 $A(2,3) \rightarrow C(2,2) \rightarrow B(3,2)$ ．
$$
\begin{aligned}
\int_{L}\left(\frac{1+y^{2} f(x y)}{y}\right) \mathrm{d} x+\frac{x}{y^{2}}\left(y^{2} f(x y)-1\right) \mathrm{d} y & =\int_{3}^{2} \frac{2}{y^{2}}\left(y^{2} f(2 y)-1\right) \mathrm{d} y+\int_{2}^{3}\left(\frac{1+2^{2} f(2 x)}{2}\right) \mathrm{d} x \\
& =2 \int_{3}^{2}\left(f(2 y)-\frac{1}{y^{2}}\right) \mathrm{d} y+\int_{2}^{3} 2 f(2 x) \mathrm{d} x+\int_{2}^{3} \frac{1}{2} \mathrm{~d} x
\end{aligned}
$$
$$
=-2 \int_{3}^{2} \frac{1}{y^{2}} \mathrm{~d} y+\frac{1}{2}=\left.\frac{2}{y}\right|_{3} ^{2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6} .
$$
（3）取积分路径 $L$ 为由点 $A(a, b)$ 到点 $C(c, b)$ ，再到点 $B(c, d)$ 的折线段．
$$
\begin{aligned}
& \int_{L}\left(\frac{1+y^{2} f(x y)}{y}\right) \mathrm{d} x+\frac{x}{y^{2}}\left(y^{2} f(x y)-1\right) \mathrm{d} y \\
& =\int_{a}^{c} \frac{1}{b}\left(1+b^{2} f(b x)\right) \mathrm{d} x+\int_{b}^{d} \frac{c}{y^{2}}\left(y^{2} f(c y)-1\right) \mathrm{d} y=\frac{c-a}{b}+\int_{a}^{c} b f(b x) \mathrm{d} x+\int_{b}^{d} c f(c y) \mathrm{d} y+\frac{c}{d}-\frac{c}{b} \\
& =\frac{c}{d}-\frac{a}{b}+\int_{a b}^{b c} f(t) \mathrm{d} t+\int_{b c}^{c d} f(t) \mathrm{d} t=\frac{c}{d}-\frac{a}{b}+\int_{a b}^{c d} f(t) \mathrm{d} t=\frac{c}{d}-\frac{a}{b} .
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：验证积分与路径无关的条件
设 $P=\frac{1+y^{2} f(x y)}{y}$, $Q=\frac{x}{y^{2}}\left(y^{2} f(x y)-1\right)$。计算偏导数：
$$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{y^{2} f(x y) + x y^{3} f'(x y) - 1}{y^{2}}$$
$$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{y^{2} f(x y) + x y^{3} f'(x y) - 1}{y^{2}}$$
因此 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ 当 $y \neq 0$，故积分与路径无关（只要路径不经过 $y=0$）。
公式：\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}
提示：注意 $f$ 可导，且 $y \neq 0$ 是条件。
步骤 2/7
目标：选择折线路径（1）
对于点 $A(3, \frac{2}{3})$ 到 $B(1,2)$，取折线 $A \to C(1, \frac{2}{3}) \to B$。
第一段：$y=\frac{2}{3}$ 常数，$x$ 从 $3$ 到 $1$，$dy=0$；
第二段：$x=1$ 常数，$y$ 从 $\frac{2}{3}$ 到 $2$，$dx=0$。
提示：折线路径要平行于坐标轴，简化计算。
步骤 3/7
目标：计算（1）的积分
原积分 = $\int_{3}^{1} \frac{1+(\frac{2}{3})^{2} f(\frac{2}{3}x)}{\frac{2}{3}} dx + \int_{\frac{2}{3}}^{2} \frac{1}{y^{2}}(y^{2} f(y)-1) dy$
$$= \frac{3}{2} \int_{3}^{1} dx + \frac{2}{3} \int_{3}^{1} f\left(\frac{2}{3}x\right) dx + \int_{\frac{2}{3}}^{2} f(y) dy - \int_{\frac{2}{3}}^{2} \frac{1}{y^{2}} dy$$
计算：$\frac{3}{2}(1-3) = -3$，$\frac{2}{3} \int_{3}^{1} f(\frac{2}{3}x) dx$ 换元 $t=\frac{2}{3}x$ 得 $\int_{2}^{\frac{2}{3}} f(t) dt$，与 $\int_{\frac{2}{3}}^{2} f(y) dy$ 抵消，$\int_{\frac{2}{3}}^{2} \frac{1}{y^{2}} dy = \left. -\frac{1}{y} \right|_{\frac{2}{3}}^{2} = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 1$，故结果为 $-3 - 1 = -4$。
公式：\int \frac{1}{y^{2}} dy = -\frac{1}{y}
提示：注意换元时积分限的变化，以及抵消项。
步骤 4/7
目标：选择折线路径（2）
对于点 $A(2,3)$ 到 $B(3,2)$，取折线 $A \to C(2,2) \to B$。
第一段：$x=2$ 常数，$y$ 从 $3$ 到 $2$，$dx=0$；
第二段：$y=2$ 常数，$x$ 从 $2$ 到 $3$，$dy=0$。
提示：注意路径方向与积分限一致。
步骤 5/7
目标：计算（2）的积分
原积分 = $\int_{3}^{2} \frac{2}{y^{2}}(y^{2} f(2y)-1) dy + \int_{2}^{3} \frac{1+2^{2} f(2x)}{2} dx$
$$= 2\int_{3}^{2} f(2y) dy - 2\int_{3}^{2} \frac{1}{y^{2}} dy + \int_{2}^{3} 2 f(2x) dx + \frac{1}{2} \int_{2}^{3} dx$$
第一项 $2\int_{3}^{2} f(2y) dy$ 换元 $t=2y$ 得 $\int_{6}^{4} f(t) dt$，第三项 $\int_{2}^{3} 2 f(2x) dx$ 换元 $t=2x$ 得 $\int_{4}^{6} f(t) dt$，两者抵消。剩余：$-2\int_{3}^{2} \frac{1}{y^{2}} dy + \frac{1}{2} = -2\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \frac{1}{2} = -2\cdot\frac{1}{6} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$。
公式：\int \frac{1}{y^{2}} dy = -\frac{1}{y}
提示：注意换元后积分限的对应，以及抵消项。
步骤 6/7
目标：选择折线路径（3）
对于一般点 $A(a,b)$ 到 $B(c,d)$，且 $ab=cd$，取折线 $A \to C(c,b) \to B$。
第一段：$y=b$ 常数，$x$ 从 $a$ 到 $c$，$dy=0$；
第二段：$x=c$ 常数，$y$ 从 $b$ 到 $d$，$dx=0$。
提示：注意条件 $ab=cd$ 将在后续简化中用到。
步骤 7/7
目标：计算（3）的积分并利用条件简化
原积分 = $\int_{a}^{c} \frac{1+b^{2} f(bx)}{b} dx + \int_{b}^{d} \frac{c}{y^{2}}(y^{2} f(cy)-1) dy$
$$= \frac{c-a}{b} + \int_{a}^{c} b f(bx) dx + \int_{b}^{d} c f(cy) dy - c\int_{b}^{d} \frac{1}{y^{2}} dy$$
计算：$\int_{a}^{c} b f(bx) dx$ 换元 $t=bx$ 得 $\int_{ab}^{bc} f(t) dt$，$\int_{b}^{d} c f(cy) dy$ 换元 $t=cy$ 得 $\int_{bc}^{cd} f(t) dt$，两者合并为 $\int_{ab}^{cd} f(t) dt$。由于 $ab=cd$，该积分为 $0$。$c\int_{b}^{d} \frac{1}{y^{2}} dy = c\left(\frac{1}{b} - \frac{1}{d}\right)$。故结果为 $\frac{c-a}{b} - c\left(\frac{1}{b} - \frac{1}{d}\right) = \frac{c-a}{b} - \frac{c}{b} + \frac{c}{d} = \frac{c}{d} - \frac{a}{b}$。
公式：\int \frac{1}{y^{2}} dy = -\frac{1}{y}
提示：利用 $ab=cd$ 消去含 $f$ 的积分，注意换元积分限。
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