下册 9.2 第二型曲线积分 第20题
📝 题目
20．设 $L$ 为从点 $(0,1)$ 到点 $(0,3)$ 的曲线 $x=\sqrt{4 y-y^{2}-3}$ ，函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上连续可微，求 $\displaystyle \int_{L}\left(\frac{1}{y}+y f(x y)\right) \mathrm{d} x+\left(x f(x y)-\frac{x}{y^{2}}+\frac{5 y}{\left(y^{2}+1\right)^{2}}\right) \mathrm{d} y$ 。
分析：曲线积分与路径无关，
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
如图 9.79 所示，记 $\displaystyle P=\frac{1}{y}+y f(x y), Q=x f(x y)-\frac{x}{y^{2}}+\frac{5 y}{\left(y^{2}+1\right)^{2}}$ ，则
$$
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{y^{2} f(x y)+x y^{3} f^{\prime}(x y)-1}{y^{2}}=\frac{\partial Q}{\partial x} .
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-277.jpg?height=1016&width=657&top_left_y=3412&top_left_x=4793}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.79}
\end{figure}
故当 $y \neq 0$ 时 $\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$ ，因此只要路径不过 $x$ 轴，点 $A$ 到点 $B$ 的曲线积分与路径无关．
$$
\int_{L}\left(\frac{1}{y}+y f(x y)\right) \mathrm{d} x+\left(x f(x y)-\frac{x}{y^{2}}+\frac{5 y}{\left(y^{2}+1\right)^{2}}\right) \mathrm{d} y=\int_{1}^{3} \frac{5 y}{\left(y^{2}+1\right)^{2}} \mathrm{~d} y=-\left.\frac{5}{2}\left(\frac{1}{y^{2}+1}\right)\right|_{1} ^{3}=\frac{5}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{10}\right)=1 .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别被积表达式并设P和Q
设 $P = \frac{1}{y} + y f(xy)$，$Q = x f(xy) - \frac{x}{y^2} + \frac{5y}{(y^2+1)^2}$。
提示：注意区分P和Q的表达式，确保没有遗漏项。
步骤 2/6
目标：验证偏导数相等，判断积分与路径无关
计算 $\frac{\partial P}{\partial y}$ 和 $\frac{\partial Q}{\partial x}$：
$\frac{\partial P}{\partial y} = -\frac{1}{y^2} + f(xy) + y \cdot x f'(xy) = f(xy) + xy f'(xy) - \frac{1}{y^2}$
$\frac{\partial Q}{\partial x} = f(xy) + x \cdot y f'(xy) - \frac{1}{y^2} = f(xy) + xy f'(xy) - \frac{1}{y^2}$
因此 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$，当 $y \neq 0$ 时成立，故积分与路径无关（只要路径不经过x轴）。
公式：$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$
提示：计算偏导数时注意链式法则，特别是 $f(xy)$ 对 $y$ 求导要乘以 $x$，对 $x$ 求导要乘以 $y$。
步骤 3/6
目标：选择便于计算的路径
由于积分与路径无关，且起点为 $(0,1)$，终点为 $(0,3)$，但原曲线 $L$ 的方程为 $x = \sqrt{4y - y^2 - 3}$，定义域为 $y \in [1,3]$。为简化计算，选择沿 $y$ 轴从 $(0,1)$ 到 $(0,3)$ 的直线路径，此时 $x=0$，$dx=0$。
提示：注意原曲线 $L$ 上 $x \geq 0$，但沿y轴路径 $x=0$ 也在定义域内，且不经过x轴，满足路径无关条件。
步骤 4/6
目标：简化沿新路径的积分
沿路径 $x=0$，$dx=0$，则积分化为：
$\int_L P dx + Q dy = \int_{y=1}^{3} Q(0,y) dy$
计算 $Q(0,y)$：
$Q(0,y) = 0 \cdot f(0 \cdot y) - \frac{0}{y^2} + \frac{5y}{(y^2+1)^2} = \frac{5y}{(y^2+1)^2}$
因此原积分 $= \int_1^3 \frac{5y}{(y^2+1)^2} dy$。
公式：$Q(0,y) = \frac{5y}{(y^2+1)^2}$
提示：代入 $x=0$ 时，注意 $f(0)$ 未定义？但 $f$ 定义在 $(0,+\infty)$，$x=0$ 时 $xy=0$ 不在定义域？实际上 $f$ 在 $(0,+\infty)$ 连续可微，但 $x=0$ 时 $xy=0$ 可能不在定义域，但此处 $y>0$，$xy=0$ 不在定义域，然而 $f(xy)$ 项乘以 $x$ 后为0，所以不影响。
步骤 5/6
目标：计算定积分
计算 $\int_1^3 \frac{5y}{(y^2+1)^2} dy$。令 $u = y^2+1$，则 $du = 2y dy$，$y dy = \frac{1}{2} du$。当 $y=1$ 时 $u=2$，$y=3$ 时 $u=10$。
原积分 $= \int_{u=2}^{10} \frac{5 \cdot \frac{1}{2} du}{u^2} = \frac{5}{2} \int_2^{10} u^{-2} du = \frac{5}{2} \left[ -\frac{1}{u} \right]_2^{10} = \frac{5}{2} \left( -\frac{1}{10} + \frac{1}{2} \right) = \frac{5}{2} \cdot \frac{4}{10} = 1$。
公式：$\int \frac{y}{(y^2+1)^2} dy = -\frac{1}{2(y^2+1)}$
提示：换元时注意积分限的变换，不要忘记系数。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
因此原曲线积分的值为 $1$。
提示：最终结果是一个数值，注意检查计算。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。