下册 9.2 第二型曲线积分 第24题

\section*{解题过程：} （1）设 $\displaystyle \oint_{C} \frac{2 x y \mathrm{~d} \dot{x}+\varphi(x) \mathrm{d} y}{x^{4}+y^{2}}=I$ ，闭曲线 $C$ 由 $C=l_{1}+l_{2}$ 组成。设 $l_{3}$ 为不经过原点的光滑曲线，使得 $l_{1}+l_{3}$ 和 $l_{2}+l_{3}$ 分别组成围绕原点的分段光滑闭曲线 $C_{i}, i=1$ ，2．由曲线积分的性质和题设条件知 $$ \oint_{C} \frac{2 x y \mathrm{~d} x+\varphi(x) \mathrm{d} y}{x^{4}+y^{2}}=\int_{l_{1}}+\int_{l_{2}}=\int_{l_{2}}+\int_{l_{3}}-\int_{l_{3}}-\int_{l_{1}}=\oint_{C_{1}}-\oint_{C_{2}}=I-I=0 . $$ 所以 $\displaystyle \int_{I_{1}} \frac{\varphi(x) \mathrm{d} y+2 x y \mathrm{~d} x}{x^{4}+y^{2}}=\int_{I_{2}} \frac{\varphi(x) \mathrm{d} y+2 x y \mathrm{~d} x}{x^{4}+y^{2}}$ 即 $\displaystyle \oint_{C} \frac{\varphi(x) \mathrm{d} y+2 x y \mathrm{~d} x}{x^{4}+y^{2}}=0$ ． 由 $\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$ 有 $\displaystyle \frac{\varphi^{\prime}(x)\left(x^{4}+y^{2}\right)-4 x^{3} \varphi(x)}{\left(x^{4}+y^{2}\right)^{2}}=\frac{2 x^{5}-2 x y^{2}}{\left(x^{4}+y^{2}\right)^{2}}$ 。解得 $\varphi(x)=-x^{2}$ 。 \begin{figure} \includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-281.jpg?height=975&width=1161&top_left_y=3646&top_left_x=4434} \captionsetup{labelformat=empty} \caption{图 9．80（1）} \end{figure} 设 $D$ 为正向闭曲线 $C_{a}: x^{4}+y^{2}=\varepsilon^{2}$ 所围区域．由于曲线积分与路径无关，所以 $$ \oint_{C} \frac{2 x y \mathrm{~d} x+\varphi(x) \mathrm{d} y}{x^{4}+y^{2}}=\oint_{C_{a}} \frac{2 x y \mathrm{~d} x-x^{2} \mathrm{~d} y}{x^{4}+y^{2}}=\frac{1}{\varepsilon^{2}} \oint_{C_{a}} 2 x y \mathrm{~d} x-x^{2} \mathrm{~d} y $$ 利用 Green 公式和对称性得 $\oint_{C_{a}} 2 x y \mathrm{~d} x-x^{2} \mathrm{~d} y=\iint_{D}(-4 x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0$ ．于是 $$ \oint_{C} \frac{2 x y \mathrm{~d} x+\varphi(x) \mathrm{d} y}{x^{4}+y^{2}}=\oint_{C_{a}} \frac{2 x y \mathrm{~d} x-x^{2} \mathrm{~d} y}{x^{4}+y^{2}}=\frac{1}{\varepsilon^{2}} \oint_{C_{a}} 2 x y \mathrm{~d} x-x^{2} \mathrm{~d} y=0 . $$ （2）将 $C$ 分解为：$C=l_{1}+l_{2}$ ，另作一条曲线 $l_{3}$ 围绕原点且与 $C$ 相接，如图 9.80 所示． $$ \oint_{C} \frac{\varphi(y) \mathrm{d} x+2 x y \mathrm{~d} y}{2 x^{2}+y^{4}}=\oint_{l_{1}+l_{3}} \frac{\varphi(y) \mathrm{d} x+2 x y \mathrm{~d} y}{2 x^{2}+y^{4}}-\oint_{l_{2}+l_{3}} \frac{\varphi(y) \mathrm{d} x+2 x y \mathrm{~d} y}{2 x^{2}+y^{4}}=0 . $$ 这表明曲线积分与路径无关． $$ \text { 记 } P=\frac{\varphi(y)}{2 x^{2}+y^{4}}, Q=\frac{2 x y}{2 x^{2}+y^{4}}, \text { 则 } $$ \begin{figure} \includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-281.jpg?height=1017&width=1058&top_left_y=6630&top_left_x=4489} \captionsetup{labelformat=empty} \caption{图 9．80（2）} \end{figure} $P, Q$ 在单连通区域 $x>0$ 内具有一阶连续偏导数．由于曲线积分 $\displaystyle \int_{L} \frac{\varphi(y) \mathrm{d} x+2 x y \mathrm{~d} y}{2 x^{2}+y^{4}}$ 在该区域内与 路径无关，故当 $x>0$ 时有 $\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$ ．于是 $$ \varphi^{\prime}(y)=-2 y, \varphi^{\prime}(y) y^{4}-4 \varphi(y) y^{3}=2 y^{5} $$ 解之得 $\varphi(y)=-y^{2}+C$ 。从而 $2 y^{5}-4 C y^{3}=2 y^{5}$ ，所以 $C=0$ 。从而 $\varphi(y)=-y^{2}$ 。