下册 9.2 第二型曲线积分 第25题

\section*{解题过程：} （1）记 $\displaystyle P(x, y)=\frac{x}{y} r^{\lambda}, Q(x, y)=-\frac{x^{2}}{y^{2}} r^{\lambda}$ ，则 $$ P_{y}(x, y)=\frac{x}{y^{2}}\left(\lambda r^{\lambda-1} \frac{y}{r} y-r^{\lambda}\right), Q_{x}(x, y)=-\frac{1}{y^{2}}\left(2 x r^{\lambda}+x^{2} \lambda r^{\lambda-1} \frac{x}{r}\right) . $$ 由 $P_{y}(x, y)=Q_{x}(x, y)$ 得 $\lambda=-1$ ． 由 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{x}{y} r^{-1}$ 得 $\displaystyle u=\frac{1}{y} r+\varphi(y)$ 。代入 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{x^{2}}{y^{2}} r^{-1}$ 得 $\varphi(y)=C$ 。故 $\displaystyle u(x, y)=\frac{1}{y} r+C$ ． （2）记 $\displaystyle P=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}, Q=-\frac{a y}{x^{2}+y^{2}}$ ，则 $\displaystyle P_{y}=\frac{-2 x y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}, Q_{x}=\frac{2 a x y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}$ ． 若闭曲线 $L$ 内部不包含坐标原点，则曲线积分 $\displaystyle I=\oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} x-a y \mathrm{~d} y}{x^{2}+y^{2}}$ 的值恒等于零的充要条件是 $P_{y}=Q_{x}$ ，即 $a=-1$ 。 若闭曲线 $L$ 内部包含坐标原点，作一小圆 $L_{1}: x^{2}+y^{2}=\varepsilon^{2}$ ，使 $L_{1}$ 全部被 $L$ 所包围，逆时针方向。 当 $a=-1$ 时，在 $L$ 和 $L_{1}$ 为边界的区域 $D$ 内，$P_{y}=Q_{x}$ ．由格林公式有 $$ \oint_{L+L_{1}} \frac{x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)}=\iint_{D} 0 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=0 $$ 又 $\displaystyle \oint_{L_{1}} \frac{x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)}=\frac{1}{\varepsilon^{2}} \oint_{L_{1}} x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y=\iint_{D} 0 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=0$ ．于是 $\displaystyle \oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)}=\iint_{D} 0 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=0$ ． 综上，当 $a=-1$ 时，总有 $\displaystyle I=\oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} x-a y \mathrm{~d} y}{x^{2}+y^{2}}=0$ ． （3）记 $P=y F(x, y), Q=x F(x, y)$ ，从而该积分与路线无关的充要条件为 $\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$ ．代入得 $$ F+x F_{x}^{\prime}=F+y F_{y}^{\prime} \text {, 即 } x F_{x}^{\prime}(x, y)=y F_{y}^{\prime}(x, y) \text {. } $$