下册 9.2 第二型曲线积分 第26题
📝 题目
26．设 $P(x, y)$ 与 $Q(x, y)$ 为两个二次连续可微的函数，且使得对任何封闭曲线 $C$ ，如下曲线积分 $\oint_{c} P(x+\alpha, y+\beta) \mathrm{d} x+Q(x+\alpha, y+\beta) \mathrm{d} y$ 与常数 $\alpha$ 和 $\beta$ 无关，试证明 $\displaystyle \frac{\partial Q(x, y)}{\partial x}-\frac{\partial P(x, y)}{\partial y}=k$ ，其中 $k$ 为常数．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
方法 1：利用 Green 公式
$$
\oint_{C} P(x+\alpha, y+\beta) \mathrm{d} x+Q(x+\alpha, y+\beta) \mathrm{d} y=\iint_{D}\left(Q_{x}(x+\alpha, y+\beta)-P_{y}(x+\alpha, y+\beta)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\lambda
$$
由条件知 $\lambda$ 为常数，且与常数 $\alpha$ 和 $\beta$ 无关，其中 $D$ 为封闭曲线 $C$ 围成的区域．
由于 $P(x, y)$ 与 $Q(x, y)$ 为两个二次连续可微的函数，故对任何 $\alpha, \beta, D$ ，有
$$
\begin{aligned}
& \iint_{D}\left(Q_{x \alpha}(x+\alpha, y+\beta)-P_{y \alpha}(x+\alpha, y+\beta)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\lambda_{\alpha}=0 \\
& \iint_{D}\left(Q_{x \beta}(x+\alpha, y+\beta)-P_{y \beta}(x+\alpha, y+\beta)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\lambda_{\beta}=0 .
\end{aligned}
$$
又由于被积函数连续，所以
$$
Q_{x \alpha}(x+\alpha, y+\beta)-P_{y \alpha}(x+\alpha, y+\beta)=0, Q_{x \beta}(x+\alpha, y+\beta)-P_{y \beta}(x+\alpha, y+\beta)=0
$$
记 $u=x+\alpha, v=y+\beta$ ，则
于是
$$
\begin{aligned}
& Q_{u u}(x+\alpha, y+\beta)=Q_{x \alpha}(x+\alpha, y+\beta), Q_{u v}(x+\alpha, y+\beta)=Q_{x \beta}(x+\alpha, y+\beta) \\
& P_{u v}(x+\alpha, y+\beta)=P_{y \alpha}(x+\alpha, y+\beta), P_{v v}(x+\alpha, y+\beta)=P_{y \beta}(x+\alpha, y+\beta)
\end{aligned}
$$
故 $Q_{u}-P_{v}=k$ 。从而 $\displaystyle \frac{\partial Q(x, y)}{\partial x}-\frac{\partial P(x, y)}{\partial y}=k$ ．
方法 2：记 $\displaystyle f(\alpha, \beta)=\frac{\partial Q(x, y)}{\partial x}-\frac{\partial P(x, y)}{\partial y}$ ，转证 $f(\alpha, \beta)=k$ ．
$$
\begin{aligned}
& \oint_{C} P(x+\alpha, y+\beta) \mathrm{d} x+Q(x+\alpha, y+\beta) \mathrm{d} y-\oint_{C} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y \\
& =\iint_{D}\left(Q_{x}(x+\alpha, y+\beta)-P_{y}(x+\alpha, y+\beta)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0
\end{aligned}
$$
利用 Green 公式有
$$
\iint_{D}(f(x+\alpha, y+\beta)-f(x, y)) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0 \text {, 其中 } D \text { 为封闭曲线 } C \text { 围成的区域. }
$$
$\forall\left(x_{0}, y_{0}\right) \in D$ ，记 $\displaystyle D_{n}=\left\{(x, y) \left\lvert\,\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2} \leqslant \frac{1}{n^{2}}\right.\right\}$ ．由中值定理，任意 $(\alpha, \beta)$ 有
$$
\iint_{D_{n}}(f(x+\alpha, y+\beta)-f(x, y)) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\pi \frac{1}{n^{2}}\left(f\left(x_{n}+\alpha, y_{n}+\beta\right)-f(x, y)\right)=0,\left(x_{n}, y_{n}\right) \in D_{n}
$$
让 $n \rightarrow \infty$ ，得 $f\left(x_{0}+\alpha, y_{0}+\beta\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)=0$ ，这说明 $f(x, y)$ 为常函数．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题意并应用格林公式
由题意，对任意封闭曲线 $C$，曲线积分 $\oint_C P(x+\alpha, y+\beta) dx + Q(x+\alpha, y+\beta) dy$ 与常数 $\alpha, \beta$ 无关。设 $D$ 为 $C$ 围成的区域，由格林公式，该积分等于 $\iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x}(x+\alpha, y+\beta) - \frac{\partial P}{\partial y}(x+\alpha, y+\beta) \right) dx dy$，记为 $\lambda$，且 $\lambda$ 与 $\alpha, \beta$ 无关。
公式：格林公式：$\oint_C P dx + Q dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx dy$
提示：注意格林公式要求 $P, Q$ 在 $D$ 上连续可微，题目已给二次连续可微条件。
步骤 2/5
目标：对参数求导得到恒等式
由于 $\lambda$ 与 $\alpha, \beta$ 无关，故 $\frac{\partial \lambda}{\partial \alpha} = 0$，$\frac{\partial \lambda}{\partial \beta} = 0$。对 $\lambda$ 的表达式求导，得 $\iint_D \left( \frac{\partial^2 Q}{\partial x \partial \alpha}(x+\alpha, y+\beta) - \frac{\partial^2 P}{\partial y \partial \alpha}(x+\alpha, y+\beta) \right) dx dy = 0$，类似对 $\beta$ 求导。由于 $D$ 任意，被积函数连续，故被积函数恒为零：$\frac{\partial^2 Q}{\partial x \partial \alpha} - \frac{\partial^2 P}{\partial y \partial \alpha} = 0$，$\frac{\partial^2 Q}{\partial x \partial \beta} - \frac{\partial^2 P}{\partial y \partial \beta} = 0$。
公式：含参积分求导：$\frac{\partial}{\partial \alpha} \iint_D f(x+\alpha, y+\beta) dx dy = \iint_D f_x(x+\alpha, y+\beta) dx dy$
提示：求导时注意链式法则，且积分区域与参数无关。
步骤 3/5
目标：变量替换简化偏导关系
令 $u = x+\alpha$, $v = y+\beta$，则 $\frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial u}$, $\frac{\partial}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial v}$, $\frac{\partial}{\partial \alpha} = \frac{\partial}{\partial u}$, $\frac{\partial}{\partial \beta} = \frac{\partial}{\partial v}$。于是 $\frac{\partial^2 Q}{\partial x \partial \alpha} = \frac{\partial^2 Q}{\partial u^2}$, $\frac{\partial^2 P}{\partial y \partial \alpha} = \frac{\partial^2 P}{\partial v \partial u}$，等等。因此恒等式变为 $\frac{\partial^2 Q}{\partial u^2} - \frac{\partial^2 P}{\partial v \partial u} = 0$ 和 $\frac{\partial^2 Q}{\partial u \partial v} - \frac{\partial^2 P}{\partial v^2} = 0$。
公式：变量替换：$\frac{\partial}{\partial \alpha} = \frac{\partial}{\partial u}$, $\frac{\partial}{\partial \beta} = \frac{\partial}{\partial v}$
提示：注意 $P, Q$ 是 $x, y$ 的函数，但通过替换变为 $u, v$ 的函数。
步骤 4/5
目标：推导出 $Q_u - P_v$ 为常数
由 $\frac{\partial^2 Q}{\partial u^2} - \frac{\partial^2 P}{\partial v \partial u} = 0$ 可得 $\frac{\partial}{\partial u} \left( \frac{\partial Q}{\partial u} - \frac{\partial P}{\partial v} \right) = 0$。由 $\frac{\partial^2 Q}{\partial u \partial v} - \frac{\partial^2 P}{\partial v^2} = 0$ 可得 $\frac{\partial}{\partial v} \left( \frac{\partial Q}{\partial u} - \frac{\partial P}{\partial v} \right) = 0$。因此 $\frac{\partial Q}{\partial u} - \frac{\partial P}{\partial v}$ 关于 $u$ 和 $v$ 的偏导均为零，故它是常数，记为 $k$。
公式：若 $\frac{\partial f}{\partial u} = 0$ 且 $\frac{\partial f}{\partial v} = 0$，则 $f$ 为常数
提示：注意 $\frac{\partial Q}{\partial u} = \frac{\partial Q}{\partial x}$，$\frac{\partial P}{\partial v} = \frac{\partial P}{\partial y}$，所以 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = k$。
步骤 5/5
目标：结论
因此，$\frac{\partial Q(x, y)}{\partial x} - \frac{\partial P(x, y)}{\partial y} = k$，其中 $k$ 为常数。
提示：注意常数 $k$ 可能依赖于曲线 $C$ 吗？实际上由推导，$k$ 是全局常数，与 $C$ 无关。
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