下册 9.2 第二型曲线积分 第27题
📝 题目
27．证明下列结论。
（1）设 $L$ 为正方形区域 $D: 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1$ 的正向边界，$f(x)$ 为正连续函数，证明：
$$
I=\oint_{L} x f(y) \mathrm{d} y-\frac{y}{f(x)} \mathrm{d} x \geqslant 2
$$
．
（2）设 $D$ 为由两条直线 $y=x, y=4 x$ 和两条双曲线 $x y=1, x y=4$ 在第一象限所围成的区域，$F(u)$ 是具有连续导数的一元函数，记 $f(u)=F^{\prime}(u)$ ，证明： $\displaystyle \int_{\partial D} \frac{F(x y)}{y} \mathrm{~d} y=\ln 2 \int_{1}^{4} f(u) \mathrm{d} u$ 。其中 $\partial D$为区域 $D$ 的边界，逆时针方向．
（3）设区域 $D \subset \mathbf{R}^{2}$ 关于直线 $y=x$ 对称，面积为 2 ，函数 $f(x)$ 是 $(-\infty,+\infty)$ 上的连续正函数，$a-b=2011$ ，求 $\displaystyle \int_{\partial D}\left(\int_{0}^{y} \frac{b f(t)}{f(x)+f(t)} \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} x+\left(\int_{0}^{x} \frac{a f(t)}{f(y)+f(t)} \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\partial D$ 为 $D$ 的边界，取逆时针方向．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由格林公式得
（1）如图9．81所示，
$$
\int_{L} x f(y) \mathrm{d} y-\frac{y}{f(x)} \mathrm{d} x=\iint_{D}\left(f(y)+\frac{1}{f(x)}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D}\left(f(x)+\frac{1}{f(x)}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \geqslant \iint_{D} 2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=2 .
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-284.jpg?height=1058&width=1071&top_left_y=4461&top_left_x=1236}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.81}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-284.jpg?height=1189&width=913&top_left_y=4323&top_left_x=3715}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.82}
\end{figure}
（2） $\displaystyle \int_{\partial D} \frac{F(x y)}{y} \mathrm{~d} y=\iint_{D} f(x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
如图 9.82 所示，作变换 $\displaystyle u=x y, v=\frac{y}{x}$ ，则 $\displaystyle J=\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}=\frac{1}{2 v}$ ，区域 $D$ 变为
$$
D_{u v}=\{(u, v) \mid 1 \leqslant u \leqslant 4,1 \leqslant v \leqslant 4\} .
$$
于是
$$
\iint_{D} f(x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D_{w}} \frac{f(u)}{2 v} \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v=\int_{1}^{4} f(u) \mathrm{d} u \int_{1}^{4} \frac{1}{2 v} \mathrm{~d} v=\ln 2 \int_{1}^{4} f(u) \mathrm{d} u .
$$
所以 $\displaystyle \int_{\partial D} \frac{F(x y)}{y} \mathrm{~d} y=\ln 2 \int_{1}^{4} f(u) \mathrm{d} u$ ．
（3） $\displaystyle \int_{\partial D}\left(\int_{0}^{y} \frac{b f(t)}{f(x)+f(t)} \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} x+\left(\int_{0}^{x} \frac{a f(t)}{f(y)+f(t)} \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} y=\iint_{D}\left(\frac{a f(x)}{f(y)+f(x)}-\frac{b f(y)}{f(x)+f(y)}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
由对称性
于是
$$
\iint_{D}\left(\frac{a f(y)}{f(y)+f(x)}-\frac{b f(x)}{f(x)+f(y)}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D}\left(\frac{a f(y)}{f(y)+f(x)}-\frac{b f(x)}{f(x)+f(y)}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
$$
$$
\begin{aligned}
& \int_{\partial D}\left(\int_{0}^{y} \frac{b f(t)}{f(x)+f(t)} \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} x+\left(\int_{0}^{x} \frac{a f(t)}{f(y)+f(t)} \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} y \\
= & \frac{1}{2} \iint_{D}\left[\left(\frac{a f(x)}{f(y)+f(x)}-\frac{b f(y)}{f(x)+f(y)}\right)+\left(\frac{a f(y)}{f(y)+f(x)}-\frac{b f(x)}{f(x)+f(y)}\right)\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
= & \iint_{D}(a-b) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=4022
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：应用格林公式将曲线积分转化为二重积分
对于第一问，令 $P = -\frac{y}{f(x)}$, $Q = x f(y)$，则 $\frac{\partial Q}{\partial x} = f(y)$, $\frac{\partial P}{\partial y} = -\frac{1}{f(x)}$。由格林公式，
$$
I = \oint_L x f(y) \, dy - \frac{y}{f(x)} \, dx = \iint_D \left( f(y) + \frac{1}{f(x)} \right) dx \, dy.
$$
由于积分区域 $D$ 关于直线 $y=x$ 对称，且被积函数对称，可交换 $x$ 与 $y$ 得
$$
\iint_D \left( f(y) + \frac{1}{f(x)} \right) dx \, dy = \iint_D \left( f(x) + \frac{1}{f(x)} \right) dx \, dy.
$$
公式：格林公式：$\oint_L P \, dx + Q \, dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx \, dy$
提示：注意格林公式中 $P$ 和 $Q$ 的对应关系，以及符号处理。
步骤 2/8
目标：利用均值不等式估计积分值
由于 $f(x) > 0$，由均值不等式 $f(x) + \frac{1}{f(x)} \ge 2$，等号当且仅当 $f(x)=1$ 时成立。因此
$$
\iint_D \left( f(x) + \frac{1}{f(x)} \right) dx \, dy \ge \iint_D 2 \, dx \, dy = 2 \cdot \text{面积}(D) = 2 \cdot 1 = 2.
$$
故 $I \ge 2$，得证。
公式：均值不等式：$a + \frac{1}{a} \ge 2$（$a>0$）
提示：注意 $f(x)$ 为正连续函数，确保均值不等式适用。
步骤 3/8
目标：应用格林公式将第二问曲线积分转化为二重积分
对于第二问，令 $P = 0$, $Q = \frac{F(xy)}{y}$，则 $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{F'(xy) \cdot y}{y} = f(xy)$，$\frac{\partial P}{\partial y} = 0$。由格林公式，
$$
\int_{\partial D} \frac{F(xy)}{y} \, dy = \iint_D f(xy) \, dx \, dy.
$$
公式：格林公式
提示：注意 $F'(u)=f(u)$，且 $\frac{\partial}{\partial x} F(xy) = f(xy) \cdot y$。
步骤 4/8
目标：作变量代换简化二重积分
令 $u = xy$, $v = \frac{y}{x}$，则 $x = \sqrt{\frac{u}{v}}$, $y = \sqrt{uv}$。雅可比行列式
$$
J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{1}{2\sqrt{uv}} & -\frac{\sqrt{u}}{2v^{3/2}} \\ \frac{\sqrt{v}}{2\sqrt{u}} & \frac{\sqrt{u}}{2\sqrt{v}} \end{vmatrix} = \frac{1}{2v}.
$$
区域 $D$ 由 $y=x$, $y=4x$, $xy=1$, $xy=4$ 围成，对应 $u \in [1,4]$, $v \in [1,4]$。于是
$$
\iint_D f(xy) \, dx \, dy = \iint_{D_{uv}} f(u) \cdot \frac{1}{2v} \, du \, dv = \int_1^4 f(u) \, du \int_1^4 \frac{1}{2v} \, dv.
$$
公式：变量代换公式：$\iint_D f(x,y) \, dx \, dy = \iint_{D'} f(x(u,v), y(u,v)) |J| \, du \, dv$
提示：注意雅可比行列式的计算，以及新区域的边界对应关系。
步骤 5/8
目标：计算积分并得到结论
计算 $\int_1^4 \frac{1}{2v} \, dv = \frac{1}{2} \ln v \big|_1^4 = \frac{1}{2} \ln 4 = \ln 2$。因此
$$
\iint_D f(xy) \, dx \, dy = \ln 2 \int_1^4 f(u) \, du.
$$
故原曲线积分等于 $\ln 2 \int_1^4 f(u) \, du$。
提示：注意 $\ln 4 = 2\ln 2$，计算要准确。
步骤 6/8
目标：应用格林公式将第三问曲线积分转化为二重积分
对于第三问，令
$$
P = \int_0^y \frac{b f(t)}{f(x)+f(t)} \, dt, \quad Q = \int_0^x \frac{a f(t)}{f(y)+f(t)} \, dt.
$$
则
$$
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{a f(x)}{f(y)+f(x)}, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{b f(y)}{f(x)+f(y)}.
$$
由格林公式，
$$
\int_{\partial D} P \, dx + Q \, dy = \iint_D \left( \frac{a f(x)}{f(y)+f(x)} - \frac{b f(y)}{f(x)+f(y)} \right) dx \, dy.
$$
公式：格林公式
提示：注意对含参变量积分求偏导时，上限是变量，需用莱布尼茨法则。
步骤 7/8
目标：利用对称性简化被积函数
由于区域 $D$ 关于直线 $y=x$ 对称，交换 $x$ 和 $y$ 后积分值不变，即
$$
\iint_D \left( \frac{a f(x)}{f(y)+f(x)} - \frac{b f(y)}{f(x)+f(y)} \right) dx \, dy = \iint_D \left( \frac{a f(y)}{f(x)+f(y)} - \frac{b f(x)}{f(x)+f(y)} \right) dx \, dy.
$$
将两式相加并除以2，得
$$
\text{原积分} = \frac{1}{2} \iint_D \left[ \frac{a f(x) - b f(y)}{f(x)+f(y)} + \frac{a f(y) - b f(x)}{f(x)+f(y)} \right] dx \, dy = \iint_D \frac{(a-b)(f(x)+f(y))}{2(f(x)+f(y))} \, dx \, dy = \iint_D \frac{a-b}{2} \, dx \, dy.
$$
实际上，更直接地，注意到 $\frac{a f(x)}{f(y)+f(x)} - \frac{b f(y)}{f(x)+f(y)}$ 与 $\frac{a f(y)}{f(x)+f(y)} - \frac{b f(x)}{f(x)+f(y)}$ 相加得 $a-b$，因此平均值为 $\frac{a-b}{2}$。但原积分等于这个平均值乘以面积，即 $\frac{a-b}{2} \cdot \text{面积}(D)$。
公式：对称性：若区域关于 $y=x$ 对称，则 $\iint_D g(x,y) \, dx \, dy = \iint_D g(y,x) \, dx \, dy$
提示：注意对称性应用时，被积函数也要相应交换变量。
步骤 8/8
目标：计算最终结果
已知 $a-b=2011$，区域 $D$ 的面积为 $2$，因此
$$
\iint_D \frac{a-b}{2} \, dx \, dy = \frac{2011}{2} \times 2 = 2011.
$$
故原曲线积分的值为 $2011$。
提示：注意面积已知，直接代入计算即可。
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