下册 9.2 第二型曲线积分 第28题
📝 题目
28．计算曲线积分 $\displaystyle \oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中
（1）$L$ 为任一不包含原点的闭区域的边界，方向逆时针；
（2）$L$ 为围绕原点的光滑闭曲线，取正向；
（3）$L$ 为不经过原点的简单闭曲线．
分析：若给定的曲线 $L$ 所围成的闭区域不包括原点 $(0,0)$ ，则在此区域内曲线积分与路径无关。
若给定的曲线 $L$ 所围成的闭区域包括原点 $(0,0)$ ，那么 $P, Q$ 在 $L$ 所围成的闭区域上不满足格林公式。此时，取一条特殊的封闭光滑曲线 $L_{1}$ ，在 $L+L_{1}$ 上应用 Green 公式，将 $L$ 上的曲线积分转化为 $L_{1}$ 上的曲线积分．
💡 答案解析
解题过程：
记 $\displaystyle P=\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}, Q=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}$ ，则 $P_{y}-Q_{x}=0,(x, y) \neq(0,0)$ ．
（1）如果坐标原点不在 $L$ 内，则在 $L$ 围成的区域 $D$ 上总有 $\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$ ．由格林公式
$$
\oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}}=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0 .
$$
（2）由于 $x=y=0$ 时被积函数无意义，故 $L$ 所包围的区域不满足格林公式的条件．作一小圆 $L_{1}: x^{2}+y^{2}=r^{2}$ 使 $L_{1}$ 全部被 $L$ 所包围，逆时针方向。记以 $L$ 和 $L_{1}$ 为边界的区域为 $D$ 。在 $D$ 内， $\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{y^{2}-x^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}=\frac{\partial P}{\partial y}$ ．由格林公式
$$
\oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{\left(x^{2}+y^{2}\right)}-\oint_{L_{1}} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{\left(x^{2}+y^{2}\right)}=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0 .
$$
于是
$$
\oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{\left(x^{2}+y^{2}\right)}=\oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{\left(x^{2}+y^{2}\right)}=\int_{0}^{2 \pi} \frac{r^{2} \sin ^{2} \theta+r^{2} \cos ^{2} \theta}{r^{2}} \mathrm{~d} \theta=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta=2 \pi .
$$
（3）分两种情况．
情况 1：闭曲线 $L$ 内部不包含坐标原点，这是（1），此时 $\displaystyle I=\oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}}=0$ ．
情况 2：闭曲线 $L$ 内部包含坐标原点，这是（2），此时 $\displaystyle I=\oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}}=2 \pi$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：识别被积函数与格林公式条件
令 $P = \frac{-y}{x^2+y^2}$, $Q = \frac{x}{x^2+y^2}$。计算偏导数：
$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{-(x^2+y^2) + y\cdot 2y}{(x^2+y^2)^2} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2}$，
$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{x^2+y^2 - x\cdot 2x}{(x^2+y^2)^2} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2}$。
因此，当 $(x,y) \neq (0,0)$ 时，$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$，即 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0$。
公式：$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2}$
提示：注意原点处函数无定义，不能直接应用格林公式。
步骤 2/7
目标：情况（1）：L不包含原点
若原点不在L所围成的闭区域D内，则P、Q在D上连续且偏导连续，满足格林公式条件。由格林公式：
$\oint_L \frac{x\,dy - y\,dx}{x^2+y^2} = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dx\,dy = \iint_D 0\,dx\,dy = 0$。
公式：格林公式：$\oint_L P\,dx+Q\,dy = \iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})\,dx\,dy$
提示：确保L的方向为逆时针，且区域D不包含原点。
步骤 3/7
目标：情况（2）：L包含原点，构造辅助曲线
当L包围原点时，原点处函数无定义，不能直接应用格林公式。作一个小圆$L_1: x^2+y^2 = r^2$，取逆时针方向，使得$L_1$完全包含在L内部。记L与$L_1$所围成的区域为D（即L与$L_1$之间的环形区域）。在D内，$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$，故格林公式适用。
提示：辅助曲线方向应与L一致（逆时针），且半径r足够小。
步骤 4/7
目标：应用格林公式于环形区域
在环形区域D上应用格林公式，注意L和$L_1$的边界方向：L取逆时针，$L_1$取逆时针，但格林公式要求边界正向为区域始终在左侧。对于环形区域，外边界L逆时针为正，内边界$L_1$顺时针为正（因为区域在左侧）。但通常我们取L逆时针，$L_1$顺时针，则格林公式给出：
$\oint_L P\,dx+Q\,dy + \oint_{L_1^-} P\,dx+Q\,dy = \iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})\,dx\,dy = 0$，
其中$L_1^-$表示顺时针方向。因此，
$\oint_L P\,dx+Q\,dy = -\oint_{L_1^-} P\,dx+Q\,dy = \oint_{L_1} P\,dx+Q\,dy$，
即$\oint_L \frac{x\,dy - y\,dx}{x^2+y^2} = \oint_{L_1} \frac{x\,dy - y\,dx}{x^2+y^2}$。
公式：格林公式应用于环形区域
提示：注意方向转换：顺时针积分等于负的逆时针积分。
步骤 5/7
目标：计算小圆上的积分
在$L_1$上，参数化：$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$，$\theta$从0到$2\pi$（逆时针）。则$dx = -r\sin\theta\,d\theta$, $dy = r\cos\theta\,d\theta$。代入：
$x\,dy - y\,dx = r\cos\theta \cdot r\cos\theta\,d\theta - r\sin\theta \cdot (-r\sin\theta\,d\theta) = r^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta)\,d\theta = r^2\,d\theta$。
分母$x^2+y^2 = r^2$，因此被积函数为$\frac{r^2\,d\theta}{r^2} = d\theta$。积分得：
$\oint_{L_1} \frac{x\,dy - y\,dx}{x^2+y^2} = \int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi$。
公式：$\oint_{L_1} \frac{x\,dy - y\,dx}{x^2+y^2} = 2\pi$
提示：参数化时注意方向，逆时针对应$\theta$从0到$2\pi$。
步骤 6/7
目标：情况（2）结论
由前两步，$\oint_L \frac{x\,dy - y\,dx}{x^2+y^2} = \oint_{L_1} \frac{x\,dy - y\,dx}{x^2+y^2} = 2\pi$。
提示：结果与L的具体形状无关，只取决于是否包含原点。
步骤 7/7
目标：情况（3）：L为不经过原点的简单闭曲线
分两种情况：
- 若L内部不包含原点，则同情况（1），积分值为0。
- 若L内部包含原点，则同情况（2），积分值为$2\pi$。
注意：L不经过原点，但可能包围原点。
提示：判断L是否包含原点，若包含则积分值为$2\pi$，否则为0。
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