下册 9.2 第二型曲线积分 第29题
📝 题目
29．计算下列曲线积分．
（1） $\displaystyle \int_{C} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $C$ 为从点 $A(-1,0)$ 到点 $B(1,0)$ 的上半椭圆．（湖北大学 $2003\left(x^{2}+4 y^{2}=1\right)$ ，聊城大学 2011（ $x^{2}+2 y^{2}=1$ ））
（2） $\displaystyle \int_{L}\left(\frac{y}{x^{2}+y^{2}}-y\right) \mathrm{d} x-\frac{x}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle L: \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ ，方向为正．
（3） $\displaystyle \int_{L} \frac{(x-y) \mathrm{d} x+(x+4 y) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $L: x^{2}+y^{2}=1$ ，方向为正．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）如图 9.83 所示，记 $\displaystyle P=\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}, Q=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}$ ，则
$$
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{y^{2}-x^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}=\frac{\partial P}{\partial y},(x, y) \neq(0,0),
$$
故积分与路径无关．记 $L$ 为从 $A(-1,0)$ 到 $B(1,0)$ 的上半圆．于是
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-286.jpg?height=920&width=1376&top_left_y=4130&top_left_x=4047}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.83}
\end{figure}
$$
\int_{C} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}}=\int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}}=\int_{L} x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x=-2 \iint_{D} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-\pi .
$$
（2） $\displaystyle \int_{L}\left(\frac{y}{x^{2}+y^{2}}-y\right) \mathrm{d} x-\frac{x}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y=\int_{L} \frac{y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x-\frac{x}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y-\int_{L} y \mathrm{~d} x$ ．
由题28得
$$
\int_{L} \frac{y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x-\frac{x}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y=-2 \pi ;
$$
对 $\int_{L} y \mathrm{~d} x$ ，应用格林公式
$$
\int_{L} y \mathrm{~d} x=\iint_{D}(-1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-\pi \cdot 2 \cdot 3=-6 \pi
$$
所以
$$
\int_{L}\left(\frac{y}{x^{2}+y^{2}}-y\right) \mathrm{d} x-\frac{x}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y=-2 \pi+6 \pi=4 \pi
$$
（3）如图9．84所示，化简得
$$
\int_{L} \frac{(x-y) \mathrm{d} x+(x+4 y) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}=\int_{L}(x-y) \mathrm{d} x+(x+4 y) \mathrm{d} y .
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-286.jpg?height=1072&width=1134&top_left_y=7086&top_left_x=4385}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.84}
\end{figure}
由格林公式
于是
$$
\begin{aligned}
& \int_{L}(x-y) \mathrm{d} x+(x+4 y) \mathrm{d} y=\iint_{D} 2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=2 \pi \\
& \int_{L} \frac{(x-y) \mathrm{d} x+(x+4 y) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}=2 \pi
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：识别被积函数与路径无关性
对于积分 $\int_{C} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}}$，令 $P=\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}$，$Q=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}$。计算偏导数：$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}$，$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}$，因此在除原点外区域有 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$，积分与路径无关。
公式：$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$
提示：注意分母 $x^2+y^2$ 在原点为零，需排除原点。
步骤 2/7
目标：选择辅助路径并计算积分
由于积分与路径无关，将上半椭圆路径 $C$ 替换为上半圆 $L: x^2+y^2=1, y\geq 0$，从 $A(-1,0)$ 到 $B(1,0)$。则原积分等于 $\int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}}$。在 $L$ 上，$x^2+y^2=1$，所以积分化为 $\int_{L} (x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x)$。
公式：$\int_{C} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}} = \int_{L} (x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x)$
提示：替换路径时需确保新路径不包含原点。
步骤 3/7
目标：应用格林公式计算曲线积分
对 $\int_{L} (x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x)$，补上从 $B$ 到 $A$ 的直线段 $L_1: y=0, x从1到-1$，构成封闭曲线 $L+L_1$，方向为逆时针。由格林公式：$\oint_{L+L_1} x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x = \iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}) \mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中 $P=-y, Q=x$，得 $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1-(-1)=2$。所以 $\iint_{D} 2 \mathrm{d}x\mathrm{d}y = 2 \cdot \text{面积}(D)$，$D$ 为半圆区域，面积 $\frac{\pi}{2}$，故 $\oint = \pi$。
公式：格林公式：$\oint_{L} P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y = \iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
提示：注意封闭曲线的方向与格林公式的正方向一致。
步骤 4/7
目标：减去直线段上的积分
直线段 $L_1$ 上 $y=0, \mathrm{d}y=0$，所以 $\int_{L_1} x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x = 0$。因此 $\int_{L} (x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x) = \oint_{L+L_1} - \int_{L_1} = \pi - 0 = \pi$。但注意原积分方向是从 $A$ 到 $B$ 的上半圆，而格林公式中 $L$ 方向为逆时针（从 $A$ 到 $B$ 沿上半圆），故结果即为 $\pi$。然而题目答案给出 $-\pi$，需检查方向：实际上从 $A(-1,0)$ 到 $B(1,0)$ 的上半圆，若取逆时针方向，则从 $A$ 到 $B$ 是顺时针？需明确：通常上半圆从 $A$ 到 $B$ 是逆时针？设 $A$ 左 $B$ 右，沿上半圆从 $A$ 到 $B$ 是逆时针？实际上，逆时针方向是从 $B$ 到 $A$ 沿上半圆？标准单位圆逆时针从 $(1,0)$ 到 $(-1,0)$ 是上半圆？这里需谨慎。根据答案，结果为 $-\pi$，说明实际积分值为 $-\pi$。我们重新计算：直接参数化 $x=\cos\theta, y=\sin\theta$，从 $\theta=\pi$ 到 $\theta=0$（因为 $A(-1,0)$ 对应 $\theta=\pi$，$B(1,0)$ 对应 $\theta=0$），则 $\mathrm{d}x=-\sin\theta\mathrm{d}\theta, \mathrm{d}y=\cos\theta\mathrm{d}\theta$，代入得 $\int_{\pi}^{0} (\cos\theta\cdot\cos\theta - \sin\theta\cdot(-\sin\theta))\mathrm{d}\theta = \int_{\pi}^{0} (\cos^2\theta+\sin^2\theta)\mathrm{d}\theta = \int_{\pi}^{0} 1\mathrm{d}\theta = -\pi$。所以正确结果为 $-\pi$。
公式：参数化：$x=\cos\theta, y=\sin\theta$
提示：注意参数化时角度变化方向与曲线方向一致。
步骤 5/7
目标：第二题：拆分积分并利用已知结果
原积分 $\int_{L}\left(\frac{y}{x^{2}+y^{2}}-y\right) \mathrm{d} x-\frac{x}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y = \int_{L} \frac{y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{d} x-\frac{x}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{d} y - \int_{L} y \mathrm{d} x$。其中 $L$ 为椭圆 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ 正向。第一项由题28知为 $-2\pi$（因为类似第一题，绕原点一周的积分值为 $-2\pi$，注意方向）。第二项应用格林公式：$\int_{L} y \mathrm{d} x = \iint_{D} (-1) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = -\text{面积}(D)$，椭圆面积 $\pi \cdot 3 \cdot 2 = 6\pi$，所以 $\int_{L} y \mathrm{d} x = -6\pi$。因此原积分 $= -2\pi - (-6\pi) = 4\pi$。
公式：格林公式：$\int_{L} y \mathrm{d} x = -\iint_{D} \mathrm{d}x\mathrm{d}y$
提示：注意第二项减号：$\int_{L} y \mathrm{d} x$ 前是负号，所以整体为 $-\int_{L} y \mathrm{d} x$。
步骤 6/7
目标：第三题：化简被积函数
由于 $L$ 为单位圆 $x^2+y^2=1$，分母 $x^2+y^2=1$，所以 $\int_{L} \frac{(x-y) \mathrm{d} x+(x+4 y) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}} = \int_{L} (x-y) \mathrm{d} x+(x+4 y) \mathrm{d} y$。
公式：代入 $x^2+y^2=1$
提示：仅当曲线在分母不为零的区域时才能化简。
步骤 7/7
目标：应用格林公式计算
令 $P=x-y, Q=x+4y$，则 $\frac{\partial Q}{\partial x}=1, \frac{\partial P}{\partial y}=-1$，所以 $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1-(-1)=2$。由格林公式，$\oint_{L} (x-y)\mathrm{d}x+(x+4y)\mathrm{d}y = \iint_{D} 2 \mathrm{d}x\mathrm{d}y = 2 \cdot \text{面积}(D)$，$D$ 为单位圆盘，面积 $\pi$，故积分 $=2\pi$。
公式：格林公式
提示：注意 $L$ 方向为正（逆时针），与格林公式一致。
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