下册 9.2 第二型曲线积分 第30题

\section*{解题过程：} 记 $\displaystyle P(x, y)=-\frac{y}{x^{2}+4 y^{2}}, Q(x, y)=\frac{x}{x^{2}+4 y^{2}}$ ，则当 $(x, y) \neq(0,0)$ 时，$\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$ ． （1）当 $L$ 为平面上不包含原点在内的区域的边界时，用 Green 公式得 $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+4 y^{2}}=0$ ． （2）当 $L$ 为平面上包含原点在内的区域的边界时，取一条特殊的有向曲线 $L_{1}: x^{2}+4 y^{2}=\varepsilon^{2}$ （ $\varepsilon>0$ 充分小），让 $L_{1}$ 完全落在 $L$ 内，并规定 $L_{1}$ 的方向为逆时针（见图9．85）。设 $L+L_{1}^{-}$所围城的区域为 $D$ ，则在 $L+L_{1}^{-}$上应用 Green 公式得 于是 $$ \oint_{L+L_{1}^{-}} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+4 y^{2}} x=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0 . $$ 而 $$ \oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+4 y^{2}}=\oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+4 y^{2}} . $$ $$ \oint_{L_{1}} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+4 y^{2}}=\frac{1}{\varepsilon^{2}} \oint_{L_{1}} x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x=\frac{1}{\varepsilon^{2}} \iint_{D} 2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\pi . $$ \begin{figure} \includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-287.jpg?height=1107&width=1057&top_left_y=4240&top_left_x=4517} \captionsetup{labelformat=empty} \caption{图 9.85} \end{figure} 故 $$ \oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+4 y^{2}}=\pi . $$ （3）若给定的曲线 $L$ 所围成的闭区域不包括原点 $(0,0)$ ，则 $\displaystyle \oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+4 y^{2}}=0$ ． 若给定的曲线 $L$ 所围成的闭区域包括原点 $(0,0)$ ，则 $\displaystyle \oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+4 y^{2}}=\pi$ ．