下册 9.2 第二型曲线积分 第45题
📝 题目
45．设 $f(x, y)$ 在圆盘 $x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 上有连续的偏导数，且 $f(x, y)$ 在其边界上为 0 ．求证：
$\displaystyle f(0,0)=-\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{1}{2 \pi} \iint_{S_{c}} \frac{f_{x} x+f_{y} y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $S_{\varepsilon}=\left\{(x, y): \varepsilon^{2} \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 。
💡 答案解析
解题过程：
作极坐标变换，则 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial r}=\cos \theta \cdot f_{x}+\sin \theta \cdot f_{y}, r \frac{\partial f}{\partial r}=r \cos \theta \cdot f_{x}+r \sin \theta \cdot f_{y}=x f_{x}+y f_{y}$ 。于是
$$
\begin{aligned}
\iint_{\varepsilon^{2}
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：引入极坐标变换
令 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$，则 $x^2+y^2 = r^2$，$\mathrm{d}x\mathrm{d}y = r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$。被积函数中的 $x f_x + y f_y$ 在极坐标下表示为 $r \frac{\partial f}{\partial r}$，因为 $\frac{\partial f}{\partial r} = f_x \cos\theta + f_y \sin\theta$，所以 $r \frac{\partial f}{\partial r} = x f_x + y f_y$。
公式：$\frac{\partial f}{\partial r} = \cos\theta \cdot f_x + \sin\theta \cdot f_y$
提示：注意极坐标变换的雅可比行列式为 $r$，不要遗漏。
步骤 2/6
目标：将积分区域变换为极坐标
积分区域 $S_\varepsilon = \{(x,y): \varepsilon^2 \leq x^2+y^2 \leq 1\}$ 在极坐标下变为 $\varepsilon \leq r \leq 1$, $0 \leq \theta < 2\pi$。于是积分化为：
$$\iint_{S_\varepsilon} \frac{x f_x + y f_y}{x^2+y^2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_\varepsilon^1 \frac{r \frac{\partial f}{\partial r}}{r^2} \cdot r \mathrm{d}r = \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_\varepsilon^1 \frac{\partial f}{\partial r} \mathrm{d}r.$$
公式：$\iint f \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iint f(r\cos\theta, r\sin\theta) r \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$
提示：注意 $r$ 的幂次约简，$\frac{r}{r^2} \cdot r = 1$，不要出错。
步骤 3/6
目标：计算内层积分
内层积分 $\int_\varepsilon^1 \frac{\partial f}{\partial r} \mathrm{d}r = f(1,\theta) - f(\varepsilon,\theta)$，其中 $f(1,\theta) = f(\cos\theta, \sin\theta)$，$f(\varepsilon,\theta) = f(\varepsilon\cos\theta, \varepsilon\sin\theta)$。因此积分变为：
$$\int_0^{2\pi} [f(1,\theta) - f(\varepsilon,\theta)] \mathrm{d}\theta.$$
公式：$\int_a^b \frac{\partial f}{\partial r} \mathrm{d}r = f(b) - f(a)$
提示：注意 $f$ 是 $r$ 和 $\theta$ 的函数，但这里 $\theta$ 视为常数。
步骤 4/6
目标：利用边界条件
由题设，$f(x,y)$ 在边界 $x^2+y^2=1$ 上为 $0$，即 $f(1,\theta)=0$。代入得：
$$\iint_{S_\varepsilon} \frac{x f_x + y f_y}{x^2+y^2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y = -\int_0^{2\pi} f(\varepsilon\cos\theta, \varepsilon\sin\theta) \mathrm{d}\theta.$$
公式：边界条件 $f(\cos\theta, \sin\theta)=0$
提示：注意负号来自 $0 - f(\varepsilon,\theta)$。
步骤 5/6
目标：应用积分中值定理
由于 $f$ 连续，由积分中值定理，存在 $\xi \in [0,2\pi]$ 使得：
$$\int_0^{2\pi} f(\varepsilon\cos\theta, \varepsilon\sin\theta) \mathrm{d}\theta = 2\pi f(\varepsilon\cos\xi, \varepsilon\sin\xi).$$
因此：
$$\iint_{S_\varepsilon} \frac{x f_x + y f_y}{x^2+y^2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y = -2\pi f(\varepsilon\cos\xi, \varepsilon\sin\xi).$$
公式：积分中值定理：$\int_a^b g(\theta)\mathrm{d}\theta = (b-a)g(\eta)$
提示：中值定理要求被积函数连续，这里 $f$ 连续，所以成立。
步骤 6/6
目标：取极限并得到结论
令 $\varepsilon \to 0^+$，则 $(\varepsilon\cos\xi, \varepsilon\sin\xi) \to (0,0)$，由 $f$ 的连续性得 $f(\varepsilon\cos\xi, \varepsilon\sin\xi) \to f(0,0)$。于是：
$$\lim_{\varepsilon\to 0} \iint_{S_\varepsilon} \frac{x f_x + y f_y}{x^2+y^2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y = -2\pi f(0,0).$$
两边除以 $-2\pi$ 即得：
$$f(0,0) = -\lim_{\varepsilon\to 0} \frac{1}{2\pi} \iint_{S_\varepsilon} \frac{x f_x + y f_y}{x^2+y^2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$
公式：连续性：$\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = f(0,0)$
提示：注意极限过程是 $\varepsilon\to 0$，而不是 $\varepsilon\to 0^+$，但这里 $\varepsilon>0$，所以是右极限。
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