下册 9.2 第二型曲线积分 第44题
📝 题目
44．设 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant r^{2}\right\}, L$ 是 $D$ 的边界曲线，$L$ 取逆时针方向为正向．$n$ 是 $L$ 的外法线方向上的单位向量，$F(P(x, y), Q(x, y))$ 是定义在 $D$ 上的连续可微向量函数。计算极限： $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0} \frac{1}{\pi r^{2}} \oint_{L} \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n d s}$ ．
💡 答案解析
解题过程：
$$
\begin{aligned}
\lim _{r \rightarrow 0} \frac{1}{\pi r^{2}} \oint_{L} F \cdot n \mathrm{~d} s & =\lim _{r \rightarrow 0} \frac{1}{\pi r^{2}} \oint_{L}(P \cos (n, x)+Q \cos (n, y)) \mathrm{d} s=\lim _{r \rightarrow 0} \frac{1}{\pi r^{2}} \oint_{L}-P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y \\
& =\lim _{r \rightarrow 0} \frac{1}{\pi r^{2}} \iint_{D}\left(Q_{x}+P_{y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\left.\lim _{r \rightarrow 0} \frac{1}{\pi r^{2}}\left(Q_{x}+P_{y}\right)\right|_{(\xi, \eta)} \iint_{D} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
& =\left.\lim _{r \rightarrow 0} \frac{1}{\pi r^{2}}\left(Q_{x}+P_{y}\right)\right|_{(\xi, \eta)} \pi r^{2}=Q_{x}(0,0)+P_{y}(0,0) .
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将向量点积转化为标量形式
由于 $\boldsymbol{n}$ 是外法线方向上的单位向量，其方向余弦为 $\cos(n,x)$ 和 $\cos(n,y)$，因此 $\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n} = P\cos(n,x) + Q\cos(n,y)$。于是曲线积分化为 $\oint_L (P\cos(n,x)+Q\cos(n,y))\,ds$。
公式：$\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n} = P\cos(n,x) + Q\cos(n,y)$
提示：注意外法线方向与切线方向的关系，避免混淆方向余弦的符号。
步骤 2/5
目标：利用外法线与切线方向的关系转换积分
对于逆时针方向的闭曲线 $L$，外法线方向与切线方向满足：$\cos(n,x)\,ds = dy$，$\cos(n,y)\,ds = -dx$。因此 $\oint_L (P\cos(n,x)+Q\cos(n,y))\,ds = \oint_L P\,dy - Q\,dx$。
公式：$\cos(n,x)\,ds = dy$，$\cos(n,y)\,ds = -dx$
提示：注意符号：外法线方向与切线方向旋转90度，需根据右手定则确定符号。
步骤 3/5
目标：应用格林公式将曲线积分转化为二重积分
对 $\oint_L P\,dy - Q\,dx$ 应用格林公式：$\oint_L P\,dy - Q\,dx = \iint_D \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} \right) dx\,dy$。注意格林公式的标准形式为 $\oint_L P\,dx+Q\,dy = \iint_D (Q_x-P_y)\,dxdy$，这里需要调整符号。
公式：$\oint_L P\,dy - Q\,dx = \iint_D \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} \right) dx\,dy$
提示：格林公式应用时注意被积函数与积分变量的对应关系，避免符号错误。
步骤 4/5
目标：利用积分中值定理简化二重积分
由于 $P_x+Q_y$ 连续，由二重积分中值定理，存在点 $(\xi,\eta)\in D$ 使得 $\iint_D (P_x+Q_y)\,dxdy = (P_x+Q_y)|_{(\xi,\eta)} \cdot \iint_D dxdy = (P_x+Q_y)|_{(\xi,\eta)} \cdot \pi r^2$。
公式：$\iint_D f(x,y)\,dxdy = f(\xi,\eta) \cdot \text{面积}(D)$
提示：中值定理要求被积函数连续，且区域为连通闭区域，这里满足条件。
步骤 5/5
目标：代入极限表达式并计算
将中值结果代入极限：$\lim_{r\to 0} \frac{1}{\pi r^2} \oint_L \boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n}\,ds = \lim_{r\to 0} \frac{1}{\pi r^2} \cdot (P_x+Q_y)|_{(\xi,\eta)} \cdot \pi r^2 = \lim_{r\to 0} (P_x+Q_y)|_{(\xi,\eta)}$。当 $r\to 0$ 时，点 $(\xi,\eta)\to (0,0)$，由连续性得极限为 $P_x(0,0)+Q_y(0,0)$。
公式：$\lim_{r\to 0} (P_x+Q_y)|_{(\xi,\eta)} = P_x(0,0)+Q_y(0,0)$
提示：注意极限过程中点 $(\xi,\eta)$ 依赖于 $r$，但由连续性可直接取极限。
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