下册 9.2 第二型曲线积分 第43题
📝 题目
43．设 $D$ 是平面上的有界单连通区域，简单光滑曲线 $L$ 为其边界曲线，$u(x, y)$ 在 $\bar{D}$ 上有二阶连续偏导数，且在 $D$ 内满足 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} \equiv 0 .\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为 $D$ 内任意一点，定义函数 $r=r(x, y)=\sqrt{\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}},(x, y) \in \bar{D}$ 。
（1）设 $L_{\varepsilon}$ 是以 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为圆心，$\varepsilon$ 为半径且含在 $D$ 内的正向圆周，$n$ 为 $L_{\varepsilon}$ 上点 $(x, y)$ 处的外法线向量，$\displaystyle I_{\varepsilon}=\frac{1}{2 \pi} \oint_{L_{\varepsilon}}\left(u(x, y) \frac{\partial \ln r}{\partial n}-\ln r \frac{\partial u}{\partial n}\right) \mathrm{d} s$ ，其中 $s$ 为 $L_{\varepsilon}$ 的弧长变量。证明： $\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} I_{\varepsilon}=u\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ．
（2）证明：$\displaystyle u\left(x_{0}, y_{0}\right)=\frac{1}{2 \pi} \oint_{L}\left(u(x, y) \frac{\partial \ln r}{\partial n}-\ln r \frac{\partial u}{\partial n}\right) \mathrm{ds}$ ，其中 $n$ 为 $L$ 上点 $(x, y)$ 处的外法线向量， $s$ 为 $L$ 的弧长变量．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
记 $v=\ln r$ ，则 $\Delta v=\Delta \ln r=0$ ，且 $v=\ln r$ 为调和函数．记 $D^{\prime}$ 为 $L+L_{\varepsilon}{ }^{-}$所围的区域．由 41 题得
$$
\begin{aligned}
& \iint_{D} v\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{D}\left(\frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+\oint_{L+L_{z}^{\prime}} v \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} s \\
& \iint_{D} u\left(\frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} v}{\partial y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{D}\left(\frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+\oint_{L+L_{z}} u \frac{\partial v}{\partial n} \mathrm{~d} s
\end{aligned}
$$
两式相减得 $\displaystyle \quad \oint_{L+L_{e}^{-}}\left(u(x, y) \frac{\partial \ln r}{\partial n}-\ln r \frac{\partial u}{\partial n}\right) \mathrm{d} s=\iint_{D^{\prime}}(u \Delta \ln r-\ln r \Delta u) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
再由 $\displaystyle \Delta u=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} \equiv 0$ 得
$$
\oint_{L+L_{i}}\left(u(x, y) \frac{\partial \ln r}{\partial n}-\ln r \frac{\partial u}{\partial n}\right) \mathrm{d} s=0
$$
从而
$$
\oint_{L}\left(u(x, y) \frac{\partial \ln r}{\partial n}-\ln r \frac{\partial u}{\partial n}\right) \mathrm{d} s=\oint_{L_{e}}\left(u(x, y) \frac{\partial \ln r}{\partial n}-\ln r \frac{\partial u}{\partial n}\right) \mathrm{d} s
$$
又
$$
\oint_{L_{c}}\left(u(x, y) \frac{\partial \ln r}{\partial n}-\ln r \frac{\partial u}{\partial n}\right) \mathrm{d} s=\int_{L_{c}} u(x, y) \frac{\partial \ln r}{\partial n} \mathrm{~d} s-\int_{L_{c}} \ln r \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} s
$$
由格林公式得
$$
\int_{L_{\varepsilon}} \ln r \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} s=\ln \varepsilon \int_{L_{\varepsilon}} \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} s=\ln \varepsilon \int_{L_{\varepsilon}}\left(\frac{\partial u}{\partial x} \cos (n, x)+\frac{\partial u}{\partial y} \cos (n, y)\right) \mathrm{d} s
$$
$$
=\ln \varepsilon \int_{L_{\epsilon}}-\frac{\partial u}{\partial x} \mathrm{~d} x+\frac{\partial u}{\partial y} \mathrm{~d} y=\ln \varepsilon \iint_{D_{\varepsilon}} \Delta u \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=0 .
$$
其中 $D_{\varepsilon}$ 是以 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为圆心，$\varepsilon$ 为半径且含在 $D$ 内的正向圆域．
又在 $L_{\varepsilon}$ 上，$\displaystyle \left.\frac{\partial \ln r}{\partial n}\right|_{r=\varepsilon}=\left.\frac{\partial \ln r}{\partial r}\right|_{r=\varepsilon}=\frac{1}{\varepsilon}$ ．于是
$$
\int_{L_{\varepsilon}} u(x, y) \frac{\partial \ln r}{\partial n} \mathrm{~d} s=\frac{1}{\varepsilon} \int_{L_{\varepsilon}} u(x, y) \mathrm{d} s .
$$
应用中值公式
$$
I_{\varepsilon}=\frac{1}{2 \pi} \int_{L_{e}}\left(u(x, y) \frac{\partial \ln r}{\partial n}-\ln r \frac{\partial u}{\partial n}\right) \mathrm{d} s=\frac{1}{2 \pi} \frac{1}{\varepsilon} \int_{L_{e}} u(x, y) \mathrm{d} s=\frac{1}{2 \pi \varepsilon} u\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) \int_{L_{e}} \mathrm{~d} s=u\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)
$$
让 $\varepsilon \rightarrow 0$ 得 $u\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) \rightarrow u\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ．于是对 $D$ 内任意一点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，总有 $\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} I_{\varepsilon}=u\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ．
再由 $\displaystyle \oint_{L}\left(u(x, y) \frac{\partial \ln r}{\partial n}-\ln r \frac{\partial u}{\partial n}\right) \mathrm{d} s=\oint_{L_{e}}\left(u(x, y) \frac{\partial \ln r}{\partial n}-\ln r \frac{\partial u}{\partial n}\right) \mathrm{d} s$ 得
$$
u\left(x_{0}, y_{0}\right)=\frac{1}{2 \pi} \oint_{L}\left(u(x, y) \frac{\partial \ln r}{\partial n}-\ln r \frac{\partial u}{\partial n}\right) \mathrm{d} s .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：引入调和函数并应用格林公式
记 $v=\ln r$，则 $\Delta v=0$，即 $v$ 是调和函数。考虑由 $L$ 和 $L_\varepsilon^-$（$L_\varepsilon$ 的负方向）围成的区域 $D'$。对 $u$ 和 $v$ 应用格林公式（第二格林恒等式）：
$$\iint_{D'} (u\Delta v - v\Delta u) \,dxdy = \oint_{L+L_\varepsilon^-} \left( u\frac{\partial v}{\partial n} - v\frac{\partial u}{\partial n} \right) ds.$$
由于 $\Delta u=0$ 且 $\Delta v=0$，左边为0，因此
$$\oint_{L+L_\varepsilon^-} \left( u\frac{\partial v}{\partial n} - v\frac{\partial u}{\partial n} \right) ds = 0.$$
公式：第二格林恒等式：$\iint_D (u\Delta v - v\Delta u) dA = \oint_{\partial D} (u\frac{\partial v}{\partial n} - v\frac{\partial u}{\partial n}) ds$
提示：注意 $L_\varepsilon^-$ 的方向是顺时针，与 $L$ 的外法线方向一致。
步骤 2/6
目标：将积分转化为仅含 $L_\varepsilon$ 的积分
由前一步的等式，将 $L+L_\varepsilon^-$ 上的积分拆分为 $L$ 和 $L_\varepsilon^-$ 两部分，并注意 $L_\varepsilon^-$ 上的外法线方向与 $L_\varepsilon$ 上的外法线方向相反，因此
$$\oint_{L} \left( u\frac{\partial v}{\partial n} - v\frac{\partial u}{\partial n} \right) ds = \oint_{L_\varepsilon} \left( u\frac{\partial v}{\partial n} - v\frac{\partial u}{\partial n} \right) ds.$$
提示：注意 $L_\varepsilon$ 是正向（逆时针）圆周，其外法线指向圆外。
步骤 3/6
目标：计算 $L_\varepsilon$ 上含 $\frac{\partial u}{\partial n}$ 的积分
在 $L_\varepsilon$ 上，$r=\varepsilon$，$\ln r = \ln \varepsilon$ 为常数。因此
$$\oint_{L_\varepsilon} \ln r \frac{\partial u}{\partial n} ds = \ln \varepsilon \oint_{L_\varepsilon} \frac{\partial u}{\partial n} ds.$$
由格林公式，$\oint_{L_\varepsilon} \frac{\partial u}{\partial n} ds = \iint_{D_\varepsilon} \Delta u \, dxdy = 0$，其中 $D_\varepsilon$ 是 $L_\varepsilon$ 围成的圆盘。所以该项为0。
公式：格林公式：$\oint_{\partial D} \frac{\partial u}{\partial n} ds = \iint_D \Delta u \, dA$
提示：注意 $\frac{\partial u}{\partial n}$ 是方向导数，格林公式中需转化为散度形式。
步骤 4/6
目标：计算 $L_\varepsilon$ 上含 $\frac{\partial \ln r}{\partial n}$ 的积分
在 $L_\varepsilon$ 上，外法线方向沿径向向外，因此 $\frac{\partial \ln r}{\partial n} = \frac{\partial \ln r}{\partial r} = \frac{1}{r} = \frac{1}{\varepsilon}$。于是
$$\oint_{L_\varepsilon} u \frac{\partial \ln r}{\partial n} ds = \frac{1}{\varepsilon} \oint_{L_\varepsilon} u \, ds.$$
公式：$\frac{\partial \ln r}{\partial n} = \frac{1}{r}$ 在圆周上
提示：注意外法线方向与径向一致。
步骤 5/6
目标：应用中值定理求极限
由积分中值定理，存在 $(x',y')\in L_\varepsilon$ 使得 $\oint_{L_\varepsilon} u \, ds = u(x',y') \cdot 2\pi\varepsilon$。因此
$$I_\varepsilon = \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{1}{\varepsilon} \cdot u(x',y') \cdot 2\pi\varepsilon = u(x',y').$$
当 $\varepsilon \to 0^+$ 时，$(x',y') \to (x_0,y_0)$，由 $u$ 的连续性得 $\lim_{\varepsilon\to0^+} I_\varepsilon = u(x_0,y_0)$。
公式：积分中值定理：$\oint_{L_\varepsilon} u \, ds = u(\xi) \cdot \text{周长}$
提示：注意中值点依赖于 $\varepsilon$，但极限时趋于圆心。
步骤 6/6
目标：证明第二问的积分表示
由第二步的等式，$\oint_{L} \left( u\frac{\partial \ln r}{\partial n} - \ln r \frac{\partial u}{\partial n} \right) ds = \oint_{L_\varepsilon} \left( u\frac{\partial \ln r}{\partial n} - \ln r \frac{\partial u}{\partial n} \right) ds = 2\pi I_\varepsilon$。
令 $\varepsilon \to 0^+$，左边与 $\varepsilon$ 无关，右边趋于 $2\pi u(x_0,y_0)$，因此
$$u(x_0,y_0) = \frac{1}{2\pi} \oint_{L} \left( u\frac{\partial \ln r}{\partial n} - \ln r \frac{\partial u}{\partial n} \right) ds.$$
提示：注意左边积分与 $\varepsilon$ 无关，所以极限可以直接取。
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