下册 9.2 第二型曲线积分 第47题
📝 题目
47．设函数 $f(x, y)$ 在区域 $D: x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 上二次连续可微．试在下列条件下计算积分：
$$
\iint_{x^{2}+y^{2}<1}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \frac{\partial f}{\partial x}+\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \frac{\partial f}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
$$
（1）$\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=x^{2}+y^{2}$ ．
（2）$\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}$ ．
（3）$\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=x^{2} y^{2}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
令 $x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$ ，则 $\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \frac{\partial f}{\partial x}+\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial x} \cos \theta+\frac{\partial f}{\partial y} \sin \theta$ ．于是
$$
\iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant 1}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \frac{\partial f}{\partial x}+\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \frac{\partial f}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} r \int_{0}^{2 \pi} \frac{\partial f}{\partial r} r \mathrm{~d} r
$$
由格林公式得：
$$
\int_{0}^{2 \pi} \frac{\partial f}{\partial r} r \mathrm{~d} r=\oint_{x^{2}+y^{2}=r^{2}} \frac{\partial f}{\partial n} \mathrm{~d} s=\oint_{x^{2}+y^{2}=r^{2}}-\frac{\partial f}{\partial y} \mathrm{~d} x+\frac{\partial f}{\partial x} \mathrm{~d} y=\iint_{x^{2}+y^{2}
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：极坐标变换与方向导数转化
令 $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$，则 $\sqrt{x^2+y^2}=r$，且 $\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=\cos\theta$, $\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\sin\theta$。于是被积函数化为 $\frac{\partial f}{\partial x}\cos\theta+\frac{\partial f}{\partial y}\sin\theta$，这正是方向导数 $\frac{\partial f}{\partial r}$（沿径向方向）。因此原积分化为 $\iint_{x^2+y^2\le 1} \frac{\partial f}{\partial r} \,dxdy$。
公式：$\frac{\partial f}{\partial r} = \frac{\partial f}{\partial x}\cos\theta+\frac{\partial f}{\partial y}\sin\theta$
提示：注意极坐标变换中 $dxdy = r\,dr\,d\theta$，不要遗漏雅可比行列式。
步骤 2/7
目标：将积分化为极坐标下的累次积分
在极坐标下，积分区域 $x^2+y^2\le 1$ 对应 $0\le r\le 1$, $0\le\theta\le 2\pi$，且 $dxdy = r\,dr\,d\theta$。因此原积分变为 $\int_0^1 dr \int_0^{2\pi} \frac{\partial f}{\partial r} \, r\,d\theta$。注意这里 $\frac{\partial f}{\partial r}$ 是 $r$ 和 $\theta$ 的函数。
公式：$\iint_D f\,dxdy = \int_0^1 \int_0^{2\pi} f(r\cos\theta, r\sin\theta) \, r\,d\theta dr$
提示：注意积分次序：先对 $\theta$ 积分，再对 $r$ 积分。
步骤 3/7
目标：利用格林公式将内层积分转化为面积分
考虑固定 $r$，内层积分 $\int_0^{2\pi} \frac{\partial f}{\partial r} r\,d\theta$。注意到 $\frac{\partial f}{\partial r} r\,d\theta = \frac{\partial f}{\partial r} \, ds$，其中 $ds = r\,d\theta$ 是圆周 $x^2+y^2=r^2$ 上的弧长微元。而 $\frac{\partial f}{\partial r}$ 是径向方向导数，即外法向方向导数（因为径向向外）。由格林公式（散度定理），沿封闭曲线的外法向导数积分等于内部区域上拉普拉斯算子的积分：$\oint_{\partial D_r} \frac{\partial f}{\partial n} ds = \iint_{D_r} \nabla^2 f \, dxdy$，其中 $D_r: x^2+y^2
公式：$\oint_{\partial D} \frac{\partial f}{\partial n} ds = \iint_D \nabla^2 f \, dA$
提示：注意方向：径向向外是外法向，因此格林公式直接适用。
步骤 4/7
目标：将原积分化为关于r的累次积分
将内层积分的结果代入，得到原积分 $I = \int_0^1 dr \left[ \iint_{x^2+y^2
公式：$I = \int_0^1 \left( \iint_{x^2+y^2
提示：注意积分区域 $D_r$ 依赖于 $r$，需要先计算内层面积分再对 $r$ 积分。
步骤 5/7
目标：计算情况(1)：$\Delta f = x^2+y^2$
当 $\Delta f = x^2+y^2$ 时，内层面积分 $\iint_{x^2+y^2
公式：$\iint_{x^2+y^2
提示：注意极坐标变换时 $\rho$ 的幂次：$x^2+y^2 = \rho^2$，面积元 $\rho\,d\rho\,d\theta$，所以被积函数为 $\rho^3$。
步骤 6/7
目标：计算情况(2)：$\Delta f = (x^2+y^2)^2$
当 $\Delta f = (x^2+y^2)^2$ 时，内层面积分 $\iint_{x^2+y^2
公式：$\iint_{x^2+y^2
提示：注意幂次：$\rho^4 \cdot \rho = \rho^5$，积分得 $r^6/6$。
步骤 7/7
目标：计算情况(3)：$\Delta f = x^2 y^2$
当 $\Delta f = x^2 y^2$ 时，内层面积分 $\iint_{x^2+y^2
公式：$\iint_{x^2+y^2
提示：注意三角函数的积分：$\cos^2\theta \sin^2\theta = \frac{1}{4}\sin^2 2\theta$，其周期为 $\pi/2$，但积分区间 $0$ 到 $2\pi$ 是4个周期，结果 $\pi/4$。
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